TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. T

oD pourra faire la réduction demandée; mais on aura peut-être besoin, pour représenter x et y', de construire un ou deux tableaux auxiliaires se composant aussi de trois systèmes de lignes. Si Tune de ces fonctions î\ ^^ f\ ^® pouvait elle-même être représentée par un seul tableau de lignes droites, il faudrait construire de nouveaux tableaut auxiliaires. Il est même des cas où il faudrait un nombre infini de tableaux, où par suite la fonction ne serait pas convergente dans le sens que nous indiquons ici. Quoi qu'il en soit, il n'est jamais avantageux d'employer plus d'un tableau pour la représentation, et, si cela n'est pas possible au moyen de droites, il sera préférable de se servir de courbes, car l'emploi de plusieurs tableaux enlève à la représentation graphique toute sa clarlé.

Lalanne donne comme exemple d'une fonction nécessitant deux tableaux la fonction suivante :

Il pose j: -J- y = y', ce qui donne un tableau d'obliques à 45°; quant à

jT =ar*, on peut l'obtenir directement par le calcul. La fonction 5 = —;

sera alors représentée par un faisceau de droites passant par l'origine. On peut toutefois se passer de ce dernier tableau. Il suffit d'écrire en effet l'équation sous la forme suivante :

y — or' • - -f X = 0

OU

«>ù l'on a posé s' = - ; on voit que l'on arrive ainsi à une équation du

premier degré entre y et z ,

Nous citerons encore, parmi les exemples traites par Lalanne, son tableau graphique pour les calculs de déblais et de remblais sur lequel nous reviendrons plus loin, et son tableau très ingénîteux pour la résolution des équations du troisième degré, ramenées préalablement à la forme

Si l'on considère les paramètres p et q comme des coordonnées variables pour chaque valeur de x^ cette équation représentera une droite. Toutes ces droites enveloppent une parabole cubique? par chaque point de lintérieur de la parabole on peut mener trois tangentes à la courbe

et, par chaque point de Textérieur, une seule; de sorte que Ton voit immédiatement s'il y a des racines imaginaires. On peut évidemment étendre cette construction à des équations de la forme

Le mémoire de Lalanne se termine par un aperçu historique sur les méthodes de représentation graphique.

Nous n'avons pas cru pouvoir, dans notre étude des méthodes graphiques, passer sous silence ce travail important.