TRANSFORMATION DES TRIANGLES

On peut démontrer directement, par la géométrie, l'exactitude de la multiplication effectuée au n* 2, fig. 19 et 20, p. 13 pour déterminer la surface d'un triangle. Joignant, en effet, les joints G et B, D et A, on voit, à cause du parallélisme des droites AD et BC, que le triangle OCD est équivalent à OAB. Dans la fig. 19, 2b est la base et f la hauteur du triangle OCD; dans la fig, 20, au contraire, 2b est la base et fis. hauteur; par suite, on aura, dans les deux cas, comme surface de OAB = F =

i/-.2« = 6/-, d'où f=p

c'est-à-dire que la surface P est représentée par la hauteur f d'un rec-=tangle dont la base serait b. On voit ainsi qu'en réduisant un triangle à une base ou à une hauteur 2b donnée, on arrive au même résultat qu'en multipliant la base par la hauteur et divisant ensuite le produit par b.

Cette concordance des deux méthodes ne peut plus se démontrer lorsque, au lieu de triangles, on a des figures plus compliquées ; il est alors plus simple de transformer la figure que de calculer, puis somtoei* les différents triangles qui la composent. Nous allons montrer Comment on' peut mesurer une figure quelconque en la transformant en un rectangle de base donnée ou en un triangle ayant comme base ou comme hauteur le double de cette longueur. On obtient, par ces transformations, des longueurs proportionnelles aux surfaces à mesurer et sur lesquelles on peut opérer d'après les règles indiquées dans le premier chapitre.

Il n*est pas nécessaire de considérer, comme base du triangle, l'un de

ses trois côtés, ainsi que nous Tavons fait fig. 19 et 20; mais on peut prendre comme base une droite quelconque AB, [fig, 45) joignant un

Fig. 45.

Bi

sommet A du triangle à un point B, pris sur le côté opposé BC. La hauteur correspondante à cette base sera alors la projection orthogonale CD du côté BG opposé au sommet A sur une perpendiculaire à ABj. Pour distinguer cette projection sur une perpendiculaire de la projection sur la ligne ABj elle-môme, nous rappellerons antiprojection.

Menons, en effet, la parallèle AA, à BG et la parallèle BAj à ABj ; le triangle AjBC (A,G n'est pas tracé sur la figure) sera équivalent au triangle donné et la hauteur de ce triangle est CD. Gette hauteur CD est maximum lorsqu'elle se confond avec BC et à ce maximum correspond le minimum de AB, , c'est-à-dire la hauteur du triangle ABC. Si Ton fait tourner AB, autour du sommet A, sa longueur augmente indéfiniment et le point D parcourt un demi-cercle décrit sur BC comme diamètre; en môme temps que AB, augmente indéfiniment, CD diminue jusqu'à zéro.

On peut donc, pour efiectuer la réduction, prendre comme base une longueur quelconque plus grande que la hauteur du triangle ou, comme hauteur, une longueur quelconque plus petite que le côté BC opposé à A.

On aurait pu de même transformer le triangle ABC en un autre triangle AjBC et la surface de ce nouveau triangle serait exprimée par

^ AjC.BC,. D'une façon générale, on peut dire que la base de réduction

2b est la distance entre la base BC du triangle et la parallèle AA, mesurée obliquement suivant la direction de cette base 20 et que la hauteur correspondante h est la distance normale des deux parallèles menées par les sommets B et C à cette môme base 2^. Sur la fig. 45, on a indiqué les trois positions de la base et de la hauteur qui passent par les trois sommets du triangle.

TILINSFORIIATION DES TRIANGLES.

En considérant dans cette figure comme correspondantes deux perpendiculaires passant par un même sommet, par exemple A,B et BG, , on peut énoncer la construction de la manière suivante :

Si Ton mène^ par le sommet B (Tun triangle^ deux perpendiculaires correspondantes BAj et BGj et que Von intercepte sur F une d'elles le segment BA, au moyen d'une parallèle AA, à F un des côtés passant par B et, sur V autre ^ le segment BCj au moyen d'une parallèle GG, à BA, , le produit de ces deux segments représentera le double de la surface du triangle.

Lorsque Tun de ces segments GD ou AB, est égal au double de la base de réduction, l'autre sera la longueur qui représente la surface du triangle.