TRANSFORMATION DES SURFACES LIMITÉES PAR DES ARCS DE CERCLE

en désignant par F' la surface du profil de hauteur - (/< + A') et dont la base sei*ait

horizontale. Quant à -- 1 — r — j , c'est la surface d'un petit triangle rectangle dont

rhypoténuse serait le talus, et dont la hauteur serait la demi- différence des hauteurs h et A'.

M. Ed. Pellis propose, dans la brochure autographiéc intitulée : Recuetl de notes des anciens élèves^ ingénieurs de Lausanne, 15 déc. 1869, de calculer simplement des tables de déblai et de remblai pour un terrain horizontal, tables qui donneraient

les Surfaces F', correspondantes à différentes valeurs - (A + A'), et de ces surfaces

on retrancherait le petit triangle d'erreur, calculé aussi d'avance pour différentes valeurs de A — A'.

Nous ferons remarquer à ce sujet que la hauteur extérieure A' nécessaire pour

calculer les valeurs de - (A -f A') et 5 (A — h') ne résulte pas directement des opé-

rations effectuées sur le terrain, mais qu'il faut, pour la déterminer sans calcul, dessiner les profils; l'emploi d'une table perd dès lors son principal avantage qui est de dispenser de tout dessin.

Nous avons cru néanmoins devoir mentionner cette proposition, et nous ajouterons en outre que M. Pellis considérait, dans ses calculs, le profil complet et non le <lemi-profil. La forme des équations trouvées plus haut reste la même pour ce cas.

ai. TRANSFORMATION DES SURFACES LIMITÉES PAR DES ARCS DE CERCLE

La transformation des surfaces limitées par des arcs de cercle repose sur la propriété suivante : la surface d'un secteur circulaire est équivalente à celle d*un triangle qui aurait pour base la longueur de Tare rectifié suivant une de ses tangentes, le sommet opposé à cette base se trouvant au centre du cercle auquel Tare appartient.

La seule méthode pratique pour rectifier un arc sur sa tangente consiste à porter le môme nombre de fois sur les deux lignes une petite corde quelconque et d'ajouter à la longueur ainsi obtenue sur la tangente le reste trouvé sur Tare après l'opération. Cherchons quelle grandeur on peut donner à l'arc a pour que, en mesurant l'arc / au moyen de la corde qui sous-tend l'arc a, l'erreur soit plus petite qu'une quantité donnée d.

La différence entre l'arc a et sa corde est, en appelant r le rayon de

l'arc :

a a — 2r sin --, 2r

ou, en développant en série :

L'arc a étant porté - fois sur Tare /, Terreur totale d sera - fois cette

différence. On aura donc :

/ g} aH

en supposant a assez petit pour que le deuxième terme soit négligeable en présence du premier.

On en tire :

4 /24rf

Dans le calcul graphique ordinaire, il suffit d'une approximation de

— -- de centimètre, ou, pour plus de simplicité dans notre formule, de

/ devant être exprimé en centimètres.

Si par exemple Tare à mesurer est de I centimètres, «= -r; si Tare

est de 3S centimètres, a doit être pris égal à — r.

Nous recommandons de ne jamais prendre a plus petit que ne le donnent ces formules, parce que, en reportant trop souvent une petite corde à la suite d'elle-même, on commet une erreur plus grande que celle qui provient de la différence entre Tare et sa corde.

En rectifiant un arc A6 sur la tangente menée à une extrémité A de cet arc, il est bon de commencer par l'autre extrémité B de l'arc (fig. 58). On porte un certain nombre de fois, à partir de cette dernière

extrémité, un petit arc a qui, sur la fig, 58, est à peu près le - du rayon»

et Ton va jusqu'à ce que l'on arrive à un point que Ion puisse considé*^ rcr comtne appartenant à la fois à l'arc et à la tangente^ On repart alors de ce point sans lever le compas, en allant en sens inverse sur la tangente, et l'on reporte la corde de l'arc à le môttie nombre de fois qu'elle a été portée siir l'arc (7 fois dans le cas de la figure). Pour des raisons faciles à comprendre, cette nicthode est beaucoup plus exacte