DÉTERMINATION DR L*AIRE D'UNK SURFACE LIMITÉE PAR DES COURBES

La formule de Parmentier, au contraire, donne une surface qui est terminée par des arcs de paraboles qui se raccordent entre eux, pour les ordonnées paires, aussi bien que pour les ordonnées impaires, et qui ondulent entre les extrémités des ordonnées ; et c'est bien là le cas le plus fréquent dans la pratique. Ainsi, toutes les fois que la courbe ne présentera pas réellement des angles rentrants, la formule du Simpson donnera des résultats moins exacts que celle de Parmentier. Uerreur commise serait encore bien plus grande si les angles rentrants correspondaient aux ordonnées impaires ; car alors les ordonnées paires auraient pour coefficient 4, et la formule deviendrait :

L'erreur serait :

valeur qui n'est plus négligeable.

Ces dernières observations subsistent encore quand les ordonnées ne sont plus alternativement plus grandes ou plus petites, mais sont tantôt au-dessus, tantôt au-dessous d'un arc de parabole d'une assez grande longueur. La formule de Simpson donne toujours, comme limites de la surface, des arcs de parabole en nombre moitié moins grand que celui des ordonnées, et qui formeront des angles aux ordonnées paires, tandis que la formule de Parmentier donne autant de paraboles que d'ordonnées, cl toutes ces paraboles ont une tangente commune entre deux ordonnées successives. Par suite, le périmètre qui en résulte se rapproche beaucoup plus de la forme d'un sol ondulé ou de celle d'une ligne courbe obtenue en joignant ensemble une série de points isolés, que le périmètre correspondant à la formule de Simpson.

En outre, il n'y a absolument aucune raison pour supposer dans ces formules que les ordonnées impaires doivent avoir deux fois plus d'importance que les ordonnées paires.

Si Ton voulait doubler une fois les ordonnées paires, et une autre fois les ordonnées impaires, puis prendre la moyenne des deux résultats, on aurait un résultat plus exact, mais on retomberait sur la formule de Parmentier qui est, par suite, préférable.

116 M OALQUIi eiMraïQPi^

Cependant, la constniction que nou9 donnons {fig. 68) est toujours plus simple et plus pratique que le calcul. Soit à construire un profil de

fig. M.

15 mètres carrés d^ superficie, et sembli4^1i) à un profil donné circonscrit à une demi-circonférence.

Construisons un polygone quelconque (pointillé sur la figure) satisfai* sant à cette condition, et réduisons-le à la base 36 = 5*, de manière à trouver le résultat f sur Tun des côtés rectilignes du profil. L'aire du profil cherché doit être bf (f étant égal à 6") au lieu de bf. 11 faut donc

modifier tous les côtés a, du premier polygone dans le rapt)ort-— ~ = ^.

Pour cela, sur la plus grande des longueurs f {f dans le cas de la figure), nous décrivons une demi-circonférence, nous menons par l'extrémité de Tautre /"(c'est-à-dire f) une perpendiculaire à sa direction, et nous joignons son extrémité à l'origine commune de f et de f au moyen d'une

c \17 ligne C. On aura c*:=ff ou - = -^* Si donc Ton augmente a^ dans le

rapport -, comme l'indique la figure, où obtiendra une longueur a qui

est le côté cherché du profil demandé. Nous avons indiqué dans la figure toutes les lignes auxiliaires nécessaires à la construction ^ On démontre dans toutes les géométries que pour des polygones ré""

gtiliers le rapport - aygmeùte avec le nombre des côtés, et atteint, à la

THÉORIE DU PLANIMÈTRE.

limite, pour le cercle, la valeur - r. On en conclut que de tous les pro-

Pig. 69.

fils (non semblables entre eux), celui qui aie plus grand rayon moyen est celui qui s'approche le plus du demicercle, et que c'est le demicercle lui-même qui a le plus grand rayon moyen. Si donc les berges d'un canal ne devaient pas dépasser une certaine inclinaison, on obtiendrait le profil de rayon moyen maximum au moyen d'un arc de cercle prolongé de chaque côté par deux tangentes dirigées suivant Tinclinaison maxima des talus (/f^. 69). Ce profil a été employé avec succès pour les torrents.