THÉORIE DU PLAMIMÈTRE

Fig. 70.

Fig. 71.

Supposons qu'une roulette soit adaptée sur le milieu d'une tige, de manière à ne pouvoir tourner que dans un plan perpendiculaire à celleci, on pourra, en déplaçant l'appareil sur un plan, mesurer, par le

nombre de tours de la roulette, le chemin que parcourt le milieu de la tige perpendiculairement à elle-même. Ce chemin multiplié par la longueur h de la tige donnera toujours l'aire décrite par le système. La proposition est évidente dans le cas où la baguette se meut parallèlement à elle-même et décrit une surface dans le genre de celle que nous représentons (/î^. 70). Le nombre de tours effectué par la roulette mesure en effet, dans ce cas, la distance normale / des positions extrêmes de la tige et en multipliant cette distance par la longueur h, on obtient bien Taire de la figure. Il en est encore de mtane lorsque la tige ne reste pas parallèle à elle-même. Soient AB et A,B, (fig. 71) deux positions successives de la baguette. La surface du quadrilatère AAjBB, est égale à 6(// +/>,), V et />, étant les longueurs

lis DU CALCUL GIUPSIQUE.

des perpendiculaires abaissées sur AB et kfi^ par le milieu de la droite MM| qui joint les milieux de ces côtés. En effet, le quadrilatère peut se décomposer en trois triangles ÀMiB + AA|Mi 4'BM|B|; la somme des aires des deux derniers triangles est égale à celle du triangle MA|B,, car, M étant le milieu de AB, chacun des deux triangles MA^Mj et MM|B| est égal à la moyenne arithmétique des su^rfaces AAiH^ et BM|B|, et leur somme est par suite égale à celle de ces surfaces ou à 1IA|B,. On voit donc que la surface du quadrilatère est égale à AM ,B + MA|B, = b{p +Pi), car p et p^ sont les demi-hauteurs 4e ces triangles. Remarquons en outre que la somme des aires des deux triangles ombrés est égale à l'aire du quadrilatère poihtillée, car les deux triangles AM|B, A|MB| ne re(H>U¥rent pas la partie ombrée et recouvrent deux fois la partie pointillée.

Pour obtenir le chemin / que décrit la roulette, supposons que la tige se déplace d'abord parallèlement à elle-même jusqu'au milieu N du chemin BtM|, puis tourne sur elle-même en N jusqu'à ce qu'elle soit parallèle à la direction A|B„ et enfin se déplace parallèlement à elle-même jusqu'à cette dernière position. Le système décrira ailisi la surCacé de la fig. 73, égale à la somme des deux parallélogrammes AGDB et A|B|D,G|,

Pig. 7t.

• c'est-à-dire égale à à(p-\-p^), ou à la surface que Ton veut mesurer, car les deux secteurs égaux NGG, et NDD, ne doivent pas être comptés, puisque l'un s'ajoute et. que l'autre se retranche. Pendant que la tige parcourt le premier parallélogramme, la roulette décrit le chemin p; pendant qu'elle parcourt les deux secteurs NGG, et NDD^, la roulette décrira le chemin c^'^ si, au lieu d'être fixée au milieu de la tige on suppose, pour plus de généralité, qu'elle Test à une distance c de ce milieu, ^^ étant l'angle des deux secteurs, c'est-à-dire l'angle que forment les deux directions extérieures AB et A,B, de la tige; c doit être pris avec le signe -^ lorsqu'en tournant la tige sur elle-même dans le sens positif, la roulette effectue aussi une rotation positive; enfin, pendant que le système parcourt le deuxième parallélogramme, la roulette décrit le chemin /i»,.