SURFACES D*A1KE MAXIHA POUR UN PÉRIMÈTRE DONNÉ

suite en général que - est maximum pour fous les quadrilatères dont deux côtés opposés sont les rayons de deux cercles tangents et ont leurs extrémités

Kg. #7.

situées sur deux horizontales, dont Tune correspond au niveau de Veau, et l autre au fond du lit.

Soient x, x, les cotangentes des angles des talus (inclinaisons des talus), h la profondeur, et b la largeur au fond du lit du canal ; la largeur du canal à la ligne d'eau sera :

d^où Ton déduit :

et

d'où enfin

Gomme h est le rayon du cercle inscrit, on voit, ce qui d'ailleurs est presque évident, que le rayon moyen est égal à la moitié du rayon du cercle inscrit.

Dans la pratique, on se donne en général Taire de la section et les inclinaisons des talus ; au moyen de ces données on peut calculer e, et Ton a alors :

2F __ /âF

On peut calculer ainsi le périmètre mouillé et le rayon moyen qui complètent les éléments dont on a besoin dans les cas ordinaires.

114 Dl! CALCUL GAAPHI^TE.

Gela posé, comme U est toujours possible d'amener le châssis à prendre une position quelconque au moyen d'une rotation autour d*un point 0 (ce point 0 s*obtenant par Tintersection des perpendiculaires PO menées par des points P tels que ÇP soit égal à la demi-diCTérence des longueurs GA), et comme l'on peut de plus considérer un arc de courbe quelconque infiniment petit comme un arc de cercle^ il en résulte d'une façon générale que le chemin parcouru par la roulette est indépendant de la position de celle-ci sur le châssis, c'estrà-dire que toutes les roulettes, telles que A et B, parcourent le même chemin.

Lorsqu'on fait glisser le châssis parallèlement à lui-même, le point 0 est rejeté à l'infini ; lorsqu'on le fait tourner autour d'un point du plan des roulettes, le chemin parcouru est nul, comme on le comprend facilement.

La roulette peut tourner dans les deux sens, et si l'on parcourt une surface en sens opposé, elle tournera aussi en sens opposé. U peut arriver aussi que la t\ge décrive plusieurs fois une même surface ; lorsque cela a Ueu toujours dans le même sens, la roulette tournera aussi chaque fois dans le même sens, et b{l — c^) contiendra cette surface autant de fois qu'elle aura été parcourue. Si, enfin, la surface était parcourue deux fois, mais en deux sens opposés, son influence sur le chemin de la roulette ferait nulle.

Il est donc important de connaître, dans chaque cas particulier, le sens dans lequel tourne la roulette lorsque Ton décrit une surface. Gomme la tige ne laisse aucune trace sur la surface, il faudra que le sens suivant lequel on parcourt le périmètre d'une figure sufiise pour déterminer le sens de rotation de la roulette. Nous pourrons appliquer ici toutes les règles données dans la géométrie pour établir la relation entre le signe d'une surface et le sens suivant lequel on parcourt son périmètre : il suffit pour cela de donner des signes contraires aux directions que suivent les deux extrémités de la tige, c'estrà-dire que si on distingue par une flèche tournée dans le sens de la marche la direction d'une des extrémités, on devra, pour l'autre extrémité, tourner la flèche vers le point de départ de celle-ci.

On peut, en eff^et, considérer un élément de surface ABCD {fig, 74) comme la différence des deux triangles OAB et ODG formés en prolongeant jusqu'en 0 les deux positions successives de la tige. Pour que le signe de la surface soit déterminé par le sens suivant lequel AB et DG ont été parcourus, il faudra donner à ces chemins AB et DC des signes contraires. On arrive au même résultat lorsque le point 0 se trouve sur la tige elle-même et non sur son prolongement {fig. 75); la surface totale

THÉORIE DU PLANIMÈTRE.

de la ligure a été augmentée de OAB et diminuée de OGD. Le triangle ODC est, par suite, négatif comme dans la fiy. 74.

Fig. 75.

Si donc on place les flèches dans le sens de la marche pour une extrémité de la tige, et en sens contraire de la marche pour Tautre extrémité, et qu*on suppose ces flèches prolongées sur les positions extrêmes de la tige, le périmètre de tout élément positif, tel que ABGD [fig. 74) et OAB (jig. 75), sera parcouru dans un certain sens, et le périmètre d'un élément négatif, comme ODC [fig. 75), sera parcouru dans le sens contraire. Cette règle ne changeant pas lorsqu'un nouvel élément de surface vient s'ajouter à celui qui précède, on peut dire, pour les surfaces entières aussi bien que pour leurs éléments, qu'elles sont décrites dans un sens ou dans le sens inverse suivant que les flèches placées sur leurs périmètres parcourent ces périmètres dans un sens ou dans l'autre.

Fig. 76.

fl6

DU CALCUL GEAPHIQQE.

Il résulte de là que nous pourrons employer j^our le planimèire les mêmes règles que celles ei^ usage dans la géométrie pouir les signes des surfaces dont le périmètre est parcomu dans des sens différents.

Montrons Tapplication de ces principes par quelques temples. Les deux parties ^e la surface {fig. 76) ont, d'après la direction des flèches, des contours de sens inverse, et sont aussi parcourues par Tinstrument en sens inverses comme Findiquent les flèches placées dans le sens de Favancement des roulettes.

Il est tout aussi évident que dans la f^. 77 les surfaces — 1 et -f 1 sont parcourues en sens inverses, et que les surfaces 0 sont parcourues une fois dans chaque sens, de sorte qu'elles n*ont aucune influence sur le chemin décrit par la roulette.

Dans les fig, 77 et 78, le parcours de la roulette est proportionnel à la différence des surfaces marquées -f ^ ®t — ^i.

Flg. 7i.

Comme les parcours des extrémités de la tige forment constam* ment une figure fermée par les positions extrêmes de la tige, on pourra toujours, pour une surface présentant des parties qui se recouvrent.

THÉORIE DU PLANIMÈTRE.

if

partager la surface entière en parties séparées dont chacune ait, dans toute son étendue, un seul et même signe.

Nous avons indiqué cette décomposition sur la fig, 78, qui n'est autre chose que la fig. 77, dont les angles formés par les différentes parties du contour ont été arrondis. Si, comme dans la fig, 79, une surface est parcourue plusieurs fois, et que Ton arrondisse les angles comme précédemment {fig, 80), chaque partie décrite plusieurs fois sera comprise

Fig. 79.

Fig. t:\

toat entière dans une autre partie décrite une fois de moins, et les surfaces de signes contraires seront complètement séparées. Dans une pareille figure, le chemin décrit par la roulette sera évidemment proportionnel à l.(4-i)-f-2.(4-2)-i-3.(-f 3) — l.(— i), le symbole (=hn) servant simplement dans cette formule à désigner chaque surface avec le signe dont elle est affectée.

II résulte aussi de ce que nous venons de dire que Ton peut voir im* médiatement combien de fois une surface a été parcourue : il suffit de mener une droite depuis Vintérieur de cette surface et de compter ses intersections avec le périmètre en tenant compte des directions suivant lesquelles ce périmètre est parcouru aux points d'intersection. Ainsi la

118 m CALCUL curaïQUE.

droite roeaée {fig. 80] de l'inlérieor de (+3) coiqie cinq Ibis le périmètre,' savoir : une fois lorsque ce périmètre se dirige vers le haut, et 4 fois lorsqu'il se dirigb vers le bas. La surface (-|- 3) sera donc parcoame + 3 fois dans le sens indiqué à l'extrémité de la sécante. Rappelons encore qoe, lorsqu'on parcourt pluùeors fois U même ligne, ' il tant compterla surface correspondante autant de fois qu'elle est pat^ conrue, et que, lorsqu'une ligne est parcourue autant de fois dans on sens que dans l'autre, la somme des surfaces correspondantes Mt nulle. , Lorsque la tige revient exactement à sa position primitive, ses deux extrémités ont décrit chacune une courbe fermée, et il est indifférent de considérer sépiarément les denx courbes décrites on de les combiner ensemble de fa- Qou à former une courbe unique.

Ainsi, dans la fig. 81, on peut dire que le chemin de la roulette correspond à la différence des surfaces (4- 1] et ( — 1), aussi bien qu'à la différence des surfaces limitées par la courbe en forme de cœur et par le cercle.

27, MESURE DES SURFACES AU MOïEH nU PLAHINÉTHE

Le planimëlre n'a pas été employé sous la forme simple que nous avons étudiée jusqu'à présent; mais l'on conçoit très bien qu'un pareil P,n jj instrument, construit sur

des dimensions assez grandes pour qu'une seule personne ne suffise plus à le manier, pourrait rendre de grands services. Si l'on avait, par exemple, un champ à mesurer, on pourrait tixer une espèce de roue de voiture {fig. 82) au milieu d'une perche un peu plus longue que la plus grande largeur du champ, et deux ouvriers, marchant de façon à maintenir constamment les extrémités de

TaiORIE bD PUNIHETIIE.

cette perche à l'aplomb des limites du champ, parcouraient l'espace à mesurer ; le géomètre n'aurait qu'à les suivre et k noter, h l'extrémité du champ, le nombre de tours que marquerait un compteur fixé sur la roue.

Hais, dès que le planimètre doit avoir les dimensions d'un compas, et doit être manié par une seule personne, il faut qu'il soit construit de façon à permettre à l'opérateur de concentrer son attention sur une seule des extrémités, à laquelle il fera décrire la figure à mesurer, pendant que l'autre extrémité décrira une figure d'aire connue.

L'instrument le plus pratique construit d'après ces données est le plaaimëtre d'Amsler. Ce serait sortir du cadre de notre traité que de décrire ici les détails mécaniques de sa construction ; on les trouvera dans les nombreux articles que divers journaux techniques ont consacrés à cet instrument. Nous nous bornerons à en expliquer le principe. L'une des k son extrémité A d'une pointe ou traceur qui sert à parcourir le

branches AB =^ {fig. 83} est i

fit. u.

contour des surfaces. Son autre extrémité fi est reliée par une charnière i^ une autre branche OB mobile autour d'un point 0, que l'on peut fixer dans la position que l'on désire. Si l'on décrit avec le traceur A {fig. 83) une courbe quelconque AA, la diSérence des surfaces {+ 1) et (— *) sera, d'après le n* 26 (p, HZ),

car e est négatif. Gomme il arrive rarement que la figure à mesurer contienne dans son périmètre un arc de rayon r compris entre deux droites Pig a*. ayant exactement la longueur

de la branche AB = A, il faudra le plus souvent parcourir avec la pointe A le périmètre entier de la surface à mesurer, comme l'indiquela fig. 84.

Si les deux extrémités A et B reviennent après l'opération dans leur position primitive, elles auront parcouru chae courbe fermée, et la surface décrite par B sera nulle, puisque B

i^à Mi tpxB^pBTèéii^ un arc dé ceràté dé tn^oter. S^pAniv^'âng^e f des directions ertrèmes est égal à léro, et la sufface décrite par A est siinplement

Ob toit qae, sotis cette forme, le plammètoe est on mstminent quirédntt l€tt surfaces à une base coastaate k

Lorsque 0 se trouve à Fintérienr de la figure, te point B parcourra un are de cercle de rayon r placé comme l'indique, par exemple, la fig. 81 (page 118) ; on aura alors, en mettant des flèches comme dans cette même figure, et déâgnant par F la surface totale décrite par A,

car

d'où

P = W-f(r« + 2fc)ic.

Orr» + 2r*e estégal à rj (fig. 85), r,

A>^1^ *— ji» A f/% *^^* ^* longueur du rayon OAlorsque le

4 X.— ^-♦* plan e de la rouleUe passe par le pôle 0.

On a, en eCTet, dans ce cas :

On aura* donc simplement :

Si Ton décrivait avec A un cercle de rayon r^, la roulette ne tournerait évidemment pas; on aurait alors /=0 et F = rÎTr, ce qu'on devait trouver.