REPRÉSENTATION DES VOLUMES AU MOYEN DE LIGNES

Nous définirons la transformation ou réduction des volumes comme nous avons défini celle des surfaces : réduire un volume à une base donnée, c'est trouver la hauteur d'un prisme de base donnée et équivalent au volume donné.

En considérant dès lors le volume d'un corps comme étant le produit d'une surface F par une longueur ou hauteur k, on réduira d'abord la surface F à une base ô, de manière que bl = F. Le volume sera alors 3 = F^=6/A:, et, en considérant Ik comme une nouvelle surface que l'on réduit à une deuxième base a, de sorte que ah = lk, on aura enfin :

2z=zFk = abh,

et, si l'on prend ab comme unité de surface, le volume sera mesuré par h. On voit que le problème actuel consiste simplement à répéter deux fois la réduction des surfaces, et comme nous avons résolu cette question dans le chapitre précédent, nous n'expliquerons pas la réduction ellemême des volumes; nous nous occuperons surtout du choix des dimensions à transformer et des modifications à apporter à la méthode dans le cas de volumes terminés par des surfaces irrégulières. Nous laisserons de côté les volumes géométriques simples, tels que parallélipipèdes , prismes, pyramides, etc.

Le plus souvent, les corps irréguliers dont on a à déterminer le volume !^Qt donnés par une série de sections parallèles plus ou moins distantes les unes des autres. Le cas le plus important qui se présente dans la pratique consiste dans la détermination des volumes de déblai et de

m ^^ CALCUI. 6BAHBQUB.

remblai ponr les roates et chemins de fer; aussi c*est ce cas qae nous allons traiter tout d*abord.

29. TOLUHES DE DEBLAI ET DE REKBLAI TEBHDIÉS PAR DBS UGHES DROITES.

Les volumes de déblai et de remblai que nous considérons dans ce paragraphe sont terminés par des lignes droites (PI. y^) et donnés par des profils en travers consécutif.

P = (ABCE) et P, = (A4B,C,K,)

dont la distance / = AA| = EE^ peut être prise assez petite pour que les arêtes BB^ et GC| puissent encore être considérées comme des lignes droites. En supposant que le terrain naturel soit terminé par les droites BG ou B|G| dans les profils extrêmes, et VC dans un profil intermédiaire, la surface du terrain naturel sera, dans les limites du volume à déterminer, un paraboloïde ayant pour directrices BB| et GG| et pour génératrices des droites situées dans les profils en travers correspondants, c'est-à-dire parallèles à un plan fixe. Ge paraboloïde partage en deux parties équivalentes le tétraèdre BCB^G^; car un profil intermédiaire quelconque, B'^G'^ par exemple, coupe le tétraèdre suivant un parallélogramme (voir la figure) et le paraboloïde suivant la diagonale B''G'' qui partage ce parallélogramme en deux parties égales. Chaque élément du tétraèdre étant divisé en parties équivalentes par le paraboloïde, il en sera de même du tétraèdre complet. On voit par suite que la somme des volumes des deux prismes situés sous les faces BGG, et BB,G, du tétraèdre et celle des prismes situés sous les faces GB,G, et GB,B du même tétraèdre comprennent entre elles le volume du prisme ABGD, A'B'G'D' et en diffèrent de ïa même quantité.

Le volume cherché sera donc égal à la moyenne arithmétique de ces deux sommes, diminuée de la pyramide tronquée située sous les talus :*

ADA, ADD, A,D,A A,D,D \ GDE BCB, ■'" BGG, "*■ B,G,B "^ B,G,G ] G,D,E,

Nous négligeons le volume du fossé, qui forme un prisme.

Soient maintenant A = AE = A,E, la demi-largeur de la voie, h et A, les hauteurs de déblai ou de remblai au milieu des profils extrêmes, h' et h\ les hauteurs de déblai ou de remblai mesurées dans la partie correspondante aux arêtes extrêmes des talus, enfin x la tangente de rincli-