VOLUMES DE DÉBLAI ET DE REMBLAI TERMINÉS PAR DES LIGNES DROITES

naison des talus, comme l'indique la figure ; nous aurons :

ED = -; E,D, = ^; AD = ô+- et A,D,==^ + ^ et le volume sera donné par l'expression

OU, en réduisant :

3= i I6{h + A' + A. + A',) + 1 ; {hh' + A.A'.) ~l(h- A.) ^1=^.

Or les profils ont pour surface (voir n* 20, page 94)

F = i6(A+A')+^ et

00 aura donc, en substituant : ,

3 = /!:+Z..*,(A A,)ilZ^.

Cette formule peut s'obtenir analytiquement de la manière suivante. Si on suppose que, pour un profil quelconque, h varie proportionnellement à la distance x ^ ce profil au profil extrême, on aura, pour les hauteurs y et y' au milieu et à Textrémité d*un profil :

Sobstituant ces valeurs dans Texpression qui donne la surface d'un profil, on trouvera une équation de la forme :

F(jr) = « 4- 6a: -f ca:».

Le premier profil {x = 0) aura par suite une surface F=za, et le dernier (x = l), vue sur&ee

F, = F-h6/-hc/».

n en résulte que Ton a :

3= \ F{xyix z= F/ -\- 1 bl* -f iclK jo X 2

ISl

DU CALCUL GlUraïQUB.

Éliminons 6 entre les deux dernières équationi, !1 ▼ieBdi*â :

3 = |/(F + Fi)

Mais c =

. (V-^M^Îi-^5

s donc:

3 = i/(P + P,) -*^/(Ai - >i) i^p-^

La surface 'T * est la moyenne arithmétique des aires des profils

extrêmes, en y comprenant, si l'on veut, iee aires de tous les déblais prismatiques tels que fossés, etc. On Toit, par la formule,, qu'il fi*est pas exact de multiplier simplement la surface moyenne par la distance des profils. Il faudrait auparavant diminuer la surface moyenne de fai surface :

h' h' Comme - et -^ sont les projections ED et B,D, (PI. Yi) des talus, cette

surface sera égale à la sixième partie du triangle ABC (fig. 86), dont le

« „^ sommet G est situé au-dessous

Flg. 86.

du talus à une distance verticale h — A,, comme Tindiquent les constructions de la figure, et dont la base AB est égale à la différence des longueurs des talus. L'erreur sera donc égale au triangle ombré qui a pour base

A ~ AB. Lorsque les lignes du ter-

rain naturel se coupent dans les deux profils superposés, h — A, et A' — h\ seront de signes contraires, et Terreur, qu'on construit de la même

manière (fig. 87), devra être ajoutée à la moyenne des surfaces.

On pourra doue, dans chaque cas particulier, reconnaître, au moyen de cette construction simple, si Terreur que Ton commet en prenant, pour le volume cherché, le produit de la moyenne des aires des profils extrêmes par la distance de ces profils est assez petite

VOLUMES DE DÉBLAI ET DE REMBLAI TERMINÉS PAR DES LIGNES DROITES. i25

pour être négligée ; dans le cas contraire, on pourra tenir compte de Terreur dans la réduction de chaque profil en réduisant en même temps le double du triangle d'erreur.

Lorsque le talus est vertical, sa projection est nulle, et Ton a

Pig. 88.

c'est-à-dire que Terreur est nulle aussi. Par suite :

Le volume d'un corps compris entre deux surfaces parallèles et verticales, tel que celui de la fig. 88, est égal au produit de sa longueur par la moyenne de ses bases.

Dans le passage du remblai au déblai, on a souvent à déterminer les volumes de corps qui ont la forme de

coins, comme ceux de la (ig, 89. Les formules trouvées plus haut sont

Fig. M».

applicables à ces volumes. Les surfaces latérales Fq et Fj sont verticales et parallèles, et leur distance est égale à Tépaisseur b du coin.

Si Ton compare le corps de la fig, 89 avec celui de la PI. V,, et si Ton considère la largeur b du coin comme correspondant à la distance / des profils de la PI. Y, ce dernier deviendra, abstraction faite des fossés, analogue à celui de la fig. 89, en faisant partir les lignes des talus des points A et A'. Il suffira donc, pour calculer le volume représenté par la]/¥^. 89, de remplacer, dans la formule générale, page 124, b par 0,

/ par A, A H — par / et]A -| — - par /,, ou, ce qui revient au même, h' et A\

par x/et x/,, en laissant subsister h et h^. On trouve, en faisant les subf^titutions indiquées :

126 01' CALCtl- (iHAPHIQUl:.

Dans les cak'uls des volumes de déblai et de remblai, on ne connaît fll en travers, et, pour obtenir le volume, on multiplie ordinairement F

par la moitié de la longueur moyenne ou - — g-^. t^

est-à-dire qu'on

prend comme Tolume :

L'erreur est la dilTérence enlrii cette quantilé et le vu peut mettre sous la forme.

urne exact qu'on

Mettons, dans ce dernier tenue, ' en l'acteur, afin de détermim.-!'

la correction qu'il faut faire subir à F pour avoir le moyen de la formule pratique. 11 viendra :

volume exact au

On aura donc le volume exact en augmentant F d'un triangle qui au-

3 (',-') fait b pour base, et (A, — A) -

le résultat par la demi-moyenne des longueurs. Nous indiquons [fig. 90] la construction de ce triangle qui est ombré

sur cette figure; cette construction n'exige aucune explication nouvelle.

Remarquons seulement que - [l — ^^] et /, -|-/ peuvent être portés à une

échelle quelconque. La correction sera négative lorsque les valeurs A— A, et/ — /, sont les signes contraires, c'est-à-dire lorsqu'au plus petit h correspond le plus grand I.