MOUVEMENT DBS TERRES

Le mouvement des terres consiste dans la représentation graphique des volumes de déblai et de remblai qui correspondent à une certaine longueur d'une ligne à construire, et qui forment des corps dont la longueur est de beaucoup la dimension principale.

Cette représentation fournit des indications très claires sur le mode d'emploi des différents cubes de déblai et de remblai, sur les longueurs et les limites des sections de transport; elle peut même, lorsqu'on emploie une échelle assez grande, fournir une détermination graphique des prix de transport. Enfin, on peut en déduire immédiatement les règles à observer pour obtenir une bonne disposition des transports. Le mouvement des terres a été imaginé par l'ingénieur bavarois Bruckner, de Neustadt (Hardt), dont la mort a été malheureusement prématurée, et est exigé, en Bavière, sur les chemins de fer de l'État, comme un complément indispensable de tous les calculs de terrassements, afin de rendre bien évidente la répartition des terres.

Le mouvement des terres diffère du profil en long ordinaire en ce que, au lieu des cotes du terrain naturel, on porte comme ordonnées la somme algébrique de tous les déblais et remblais depuis l'origine jusqu'au profil considéré, les déblais et les remblais étant affectés de signes contraires (*).

Sans nous arrêter sur la manière de déterminer ces sommes, nous expliquerons la méthode à suivre, en prenant comme exemple le mouvement des terres représenté PI. VI,, au-dessous du profil en long ordinaire fig, 1. Sur cette épure, les remblais ont été considérés comme des quantités positives et les déblais comme des quantités négatives.

Le point 0 a été pris comme origine. Le deuxième point du mouvement des terres a été pris sur la verticale IIl", de manière que sa hauteur verticale au-dessus du point 0, c'est-à-dire 01, représente, à une échelle quelconque, le cube total des remblais en deçà du profil Iir. De même les différences de hauteur 12 et 2B représentent le cube total des remblais entre III' '* ** d'une part, et entre *• " '^ de l'autre. La verticale en-

( *) il importe de remarquer que la représentation i^raphique du mouvement des terres dont il s'agit ici, diffère essentiellement de Tépure de la répartition des terrasses usitée en France. Dans cette dernière épure, les ordonnées représentent les surfaces de déblai et de remblai correspondantes aux différents profils. (Voir aussi la note A.)

i3ê MT ^lECSI* GIUMIQW*

tière 0,B représente donc le cube total des remblais depuis Forigine 0

jusqu'à nr.

Le déblai commence en HP el est eoiitndéré comme négatif dans Tad- 4ition des cubes, de sorte que les sommes à porter en ordonnées, c'està-dire les cotes de l'épure du mouvement des terres, diminuent, et les cubeis dé déblai au delà de lit* devront être portés vers le bas à partir du point B, et ainsi de suite.

D'après cette construction, on voit immédiatement que : 1* La ligné brisée obtenue en joignant les différents sommets des ordonnées s'élève dans les parties en rembld et descend dans les parties en déblai; nous l'avons figurée en trait plein dans le premier cas et en traits pointillés dans le second.

2* Les points de passage du remblai au déblai correspondent aux maxima des ordonnées du contour formé par la ligne brisée, et les points -de passage du déblai au remblai correspondent aux minima des or* •données de ce même contour.

3* L*inciinaison des côtés de la ligne brisée par rapport à l'horizontale •est d*autant plus grande que les cubes des déblais ou des remblais correspondant à ces côtés sont plus considérables, c'est-à-dire que cette inclinaison augmente avec la surface des profils en travers^ ce qu'on peut énoncer d'une façon plus générale en disant que

4* La tangente de Tangle que fait la ligne du mouvement des terres avec lliorîzontale est proportionnelle à Taire du profil en travers correspondant. La tangente est donc positive, c'est-à-dire dirigée vers le haut pour les remblais, et négative, ou dirigée vers le bas, pour les déblais; elle est nulle pour le passage de l'un à l'autre, et correspond alors à un maximum lorsqu'on passe du positif au négatif, c'est-à-dire du remblai au déblai, et à un minimum lorsqu'on passe du négatif au positif, c'està-dire du déblai au remblai.

o' Lorsque le profil en travers du déblai ou du remblai a une surface

constante, le mouvement des terres est représenté par une ligne droite.

6* En général, des déblais ou des remblais qui commencent par

croître, pour décroître ensuite, donneront une ligne ayant la forme d'un

S couché.

On voit, par ce qui précède, que cette représentation du mouvement des terres donne un meilleur aperçu des cubes de déblai et de remblai que le profil en long, parce que ces cubes, qui ne sont pas en général proportionnels aux surfaces de déblai et de remblai, y sont portés comme ordonnées et apparaissent ainsi à l'œil sous la forme de grandeurs linéaires. Mais le plus grand avantage de cette représentation consiste en ce que :

MOUTEHBIIT DIS TBRIIS. 115

7' Bnire deux profils quelconques correspondants à des points situés sur une même horisontale, les cubes de remblai et de déblai sont égaux. 8* La snrfiice comprise entre cette horicontale et la ligne brisée audessus et au-dessous est proportionnelle à la partie des frais de transport qui dépend de la distance.

9* Ces surfaces, qui ont la forme de montagnes et de vallées, indiquent les différentes sections de transport; les montagnes, ou parties au-dessus de rhorizontale, indiquent les sections où Ton transportera en arrière, et les vallées, ou parties au-dessous de Tborizontale, celles où Ton transportera en avant.

Pour démontrer le § 7, il suffit de remarquer que les ordonnées ont été formées par Taddition de cubes de remblai et de déblai ; si, par suite, les ordonnées sont les mômes pour deux profils, c'est que, dans la partie comprise entre ces profils, on aura ajouté autant de remblai que de déblai ; ces deux cubes sont donc égaux, et les profils détermineront une ou plusieurs sections de transport.

fin supposant, comme on le fait d'habitude pour dresser le tableau

de frais de transport, que le prix du transport de T unité de volume, à

une distance variable, se compose d'une constante et d'une quantité

proportionnelle à la distance, on déterminera cette dernière quantité en

s'appnyant sur le § 8; quant à la partie constante, on pourra la supposer

ajoutée aux frais d'extraction. Considérons, en efiet, un élément aM

(PI. YI,) de la section III, élément qui doit être transporté en arrière

depuis le profil lU* jusqu'au passage du remblai au déblai ; les frais de

transport correspondants seront proportionnels au produit eM ou à la

surface ombrée dans la section III. Les frais totaux de transport du cube

de déblai M correspondant à la section III jusqu'au passage du déblai au

remblai seront proportionnels à £eAM ou à la surface ABD. On démontre

de la même manière que les frais de transport de la même masse M

depuis le passage du déblai au remblai jusqu'à la place qu'ils doivent

occuper dans le remblai, sont proportionnels à la surface BGD. La somme

des frais de transport sera donc proportionnelle à la surface ABC.

Gomme, dans cette démonstration, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la position respective des éléments de remblai et de déblai, il est indifférent, au point de vue des frais de transport, de transporter les éléments du déblai en un point quelconque du remblai, pourvu qu'on ne dépasse pas, dans ce transport, les limites de la section, et que les transports s'effectuent parallèlement, ou à peu près, à l'axe de la voie. Remarquons encore que les surfaces ABD, ou les HàM, sont propor-* tionnelles aux moments statiques des cubes de terrassements par rapport au point de passage du déblai au remblai, c'est^^ire au produit du

cube M de déblai par la distance de s<m centre de gravité à ce point de piaasage, car SeAM est Texpression de ce moment statique*

Ce que nous venons de dire s'applique aussi msxK Iraaspqrts des mêmes eubes depuis le peint de passage jusqu'à leur lieu de dépôt; par suite, les firais totaux de transport d*un cube de déblai msA proportionnels au produit de ce cube pi^ la distance des centres de gravité des volumes occupés dans le déblai et dans le remblai, comme l'a démontré autrefois Oautbey.

Il suflSt de jeter un coup d'œil sur la PI. TIttis pour s'assurer de l'exactitude de la neuvième proposition. Gomme les transports s'effectuent toujours en allant du déblai au remblai, c'esMt-dire, sur notre ^ure, en allant d'une ligne qui descend à une ligne qui mcnite, et que d'ailleurs la ligne des déblais, que nous avons pointillée, se trouve nécessairement avant chaque vallée et après chaque montagne, il faudra évidemment transporter en arrière, pour les sections qui correspondait à des montagnes, et en avant pour les sections qui correspondent à des vallées.

. Toutes les propriétés énoncées jusqu*à présent découlent de 1§ représentation graphique que nous avons indiquée. Quant aux chambres ' d'emprunt et aux lieux de dépôt, on peut représenter d'ime manière tout à fait quelconque les cubes qui s'y rapportent. Dans la PL YI, nous les avons représentés de la manière suivante,

Soit {fig. 3) le plan de la voie avec une chambre d'emprunt indiquée par une partie ombrée. Nous avons porté, sur une horizontale, à partir de chaque point G de la ligne du mouvement des terres, la distance GE=GiEj [fig. 2 et 3) de ce point à la chambre d*emprunt, en tenant compte du sens du transport; pour un point (LL,) situé de Tautre côté de la chambre d'emprunt, la distance doit être portée en sens contraire de GE, de manière que LM = LjJjK, , en supposant, comme c'est le cas ordinaire, que les wagons qui servent au transport aboutissent toujours, en venant de la chambre d'emprunt, au même point de la voie.

Dans ce cas, le lieu des extrémités des distances sera la verticale MK, puisque les distances des points L à la chambre d'emprunt augmentent des mêmes quantités que les longueurs parcourues sur la voie. Le long de la chambre d'emprunt, entre (JFJiFJ, la distance à la voie est constante : JK=FG=JiKi=FjEj. Enfin, si Ton suppose que le milieu H de la chambre d'emprunt soit le point où l'on change le sens des transports, on aura comme lieu des extrémités des distances la ligne brisée ËGHKM. On voit donc que la partie de la ligne desservie par la chambre d'emprunt se subdivise en deux sections (PI. VIJ I et II; dans la dernière on transporte en avant, et dans la première, en arrière. Les frais de

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transport sont proportionnels dans la section II à la surface EGHGE, et dans la section I à la surface MKHLM. On voit aussi que la section II, qui est adjacente à la ligne GP, forme par rapport à elle une vallée dans laquelle les transports se font en avant, ce qui concorde avec les résultats précédents.

Nous avons fait une construction semblable pour les deux lieux de dépôt compris dans les dernières sections VIII, IX, X et XI, et tout ce que nous venons de dire pour les emprunts s'applique encore dans ce dernier cas.

La délimitation des sections de transport entre deux lieux d'emprunt ou deux lieux de dépôt n'est en aucune façon déterminée par les opéra- Uons graphiques que nous venons d'effectuer. Il suffirait, en effet, de déplacer la ligne de répartition GP vers le haut pour augmenter le déblai dans l'emprunt de la section II, ainsi que le remblai dans les lieux de dépôt de la section YIII, et en même temps augmenter toutes les sections de vallées où l'on transporte en avant, et diminuer toutes les sections de montagnes où l'on transporte en arrière ; en déplaçant la ligne de répartition vers le bas, on produirait l'effet inverse .

Il faut rechercher^ par suite, comment on doit répartir les sections de transport pour que les frais de transport soient le plus petits possibles, ou, ce qui revient au même, comment on doit placer la ligne de répartition GP pour que la somme des surfaces des vallées et montagnes qu'elle détermine devienne un minimum.

Cherchons comment varie cette somme, qui est proportionnelle aux frais de transport, quand on donne un déplacement ^h infiniment petit à la ligne de répartition GP (PI. YI,). Soit b la base d'une montagne et soit k la partie variable des frais de transport de l'unité de volume à l'unité de distance. Le déplacement par le haut produira pour cette montagne une diminution de frais proportionnelle à bkUi^ et pour toutes les montagnes une diminution A^Sm^^, puisque aA est constant.

Tandis que les frais diminuent pour les montagnes, ils augmentent pour les vallées d'une quantité analogue ihJlrbk. La diminution totale des frais n'est donc que de :

{lubk'^Yybk)àh,

Pour qu'un nouveau déplacement vers le haut ou vers le bas ne puisse plus produire aucune diminution de frais, il faudra que la quantité écrite plus haut, qui représente cette diminution, soit égale à zéro, ou bien aussi la quantité entre parenthèses. Il faut donc que la somme des produits des bases des montagnes par les frais de transport respectifs soit égale à la somme des produits des bases des vallées par les frais de

traiispori qui tour correspoiident Ba -éofonçani etlli fenniil» d'one manière prttiviet notit'obtieadrûiii llsipoitâi^ tèf^é qui «ail 2

XuMum'iNi ^biSt âc^iniltr liit tetvoimtffiisi'ilflni nlimfliini McfiMM db HMHtjMTly il /infC, pmttémmiMBt k pim potmik te ^«m ib MMqptnft éfi»fteti ces sections de manière que la somme des produits des longueimt Se Êmsimks Mctimu okTûH iNmq^eémMaài^jmrlm fnmde ÉvmfÊfêitîmjfmtifkiwU égalé à h somme analùgue pour Umies te sÊCtimu oè tms MM^Mnt «w

Dans ces sommes doiyent évidemment entrer les longuema dea tac- ' Uona correspondant aux lieux d'empfoni al aux Uanx de dipM extrtaiesi comme Tindiqae la PL TI^.

M. le professeur iTtfemcyer a, dans son ouvrage sur le SKMimMiiA des terres» étendu ce théoràme au cas où les frais de tmaspoit acml pmpoa^ tionnels à la racine carrée de la distance; mais comme oatlelqfpolhèae n'est yraie que pour de très petitee distances de tranaporii et qme inmt de grandes distances les quantités à transporter ont une inlMBM eonaidérable que l'on ne doit pas négliger, nous ne nous étendroaa paa da^ vantage sur la question considérée à ce point de fue. Mais aeu%8iippojenms qu'on a déterminé, d'une lis^^oa spéciale pour chaque aeetioA de trauport, lee frais de transpcM correspondant i l'unité de dietanœ, en tenant compte de la longueur de la section et des quantités à transporter. €da fait, nous réduirons graphiquement toutes les longueurs des aee» lions au plus haut prix de transport en portant ce dernier prix sur une horizontale et à une échelle quelconque, puis décrivant, de son extrémité comme centre, des cercles ayant pour rayons les autres prix de transport et menant des tangentes à ces cercles par Tautre extrémité. Cette construction est celle de la méthode des sinus et nous fournit les longueurs réduites des sections. On porte alors, sur une horizontale et i la suite Tune de l'autre, les longueurs réduites des montagnes dans le sens positif et celles des vallées dans le sens négatif. Le résultat, pour la meilleure répartition des sections, doit être égal à zéro. Si le résultat n'est pas nul au premier essai, on pourra trouver facilement, comme nous allons rindiquer, el au moyen d*une courbe d'erreur, la position de l'horizontale pour laquelle cette somme est égale à zéro.

La construction de cette horizontale est indiquée dans la PI. VI,. On a supposé, pour simplifier, que les frais de transport étaient les mêmes pour toutes les sections : la réduction dont nous avons parlé plus haut est alors inutile pour déterminer Thorizontale GP, la plus avantageuse. On obtiendra rapidement la différence des longueurs des sections de montagne et de vallée en rabattant successivement chacune d'elles sur la suivante au moyen du compas. Trouve-tK)n, comme pour l'horizon*