ALCCL GRAPHIQUE DES TERRASSEMENTS

aie P', une longueur de vallées plus grande que celle des montagnes, on portera l'excès sur cette horizontale à partir de P, et dans un sens <pielconque , en P'Q' par exemple. Cela fait, si Ton trouve, pour une deuxième horizontale P'^ que la longueur des montagnes est la plus grande, on portera son excès P^Q" sur celle des vallées en sens inverse. 11 suffit alors de joindre Q'Q" au moyen d'une courbe d'erreur pour obtenir par son intersection avec la verticale P'P*' le point P qui détermine Vhorizontale cherchée CF. La ligne Q'Q" est une droite dans le cas actuel, parce que le contçur du mouvement des terres ne présente pas d'angle entre les horizontales F et V\ Mais en général cette ligne est une courbe désignée sous le nom de courbe (Terreur,

Nous emploierons souvent cette méthode, qui correspond entièrement à la méthode connue en arithmétique sous le nom de méthode de fausse jmition. Le principe général des courbes d'erreur est le suivant : Si Ton a trouvé, en essayant certaines valeurs d'une inconnue à déterminer, des erreurs telles que + P Q' et — P"Q", on les porte comme ordonnées dans une direction et à une échelle quelconques à partir d'un axe des abcisses PP", en tenant compte de leurs signes et de manière que ces ordonnées ^ient une relation déterminée, mais quelconque d'ailleurs, avec les valeurs correspondantes de l'inconnue (dans l'exemple précédent, les origines PP* des ordonnées déterminent elles-mêmes les horizontales essayées comme solutions); la courbe d'erreur s'obtient en joignant les extrémités des ordonnées; cette courbe coupe l'axe des abscisses en un point P qui détermine la solution exacte. Dans le cas actuel, Thorizonlale cherchée passe elle-même par le point P.

D'après ce qui précède, la position la plus favorable de la ligne de répartition détermine les longueurs de toutes les sections de transport, pour lesquelles les frais de transport sont un minimum.

Autrefois, dans les chemins de fer bavarois^ on ne se servait de cette épure du mouvement des terres que pour la détermination graphique des sections de transport; mais, dans ces derniers temps, les ingénieurs des lignes suisses s'en sont servis pour déterminer en outre les frais de transport eux-mêmes, en mesurant les surfaces des montagnes et des

vallées au moyen du planimètre.

On prétend souvent que l'approximation des frais de transport déterminés par ce procédé est insuffisante pour un projet définitif. Supposons, pour nous faire une idée de cette approximation, que l'échelle des longueurs soit de i : 2000, et que celle des cubes soit telle que i millimètre représente 1000 mètres cubes. Avec ces échelles, un très grand déblai, de 150000 mètres cubes, par exemple, sera représenté par une hauteur de 0r,l5. Gomme les longueurs des ordonnées sont obtenues par le calcul,

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on pourra les porter tout i^ fait exactement, el la seule erreur que l'on puisse commettre est relie qui résultera de l'emploi du planimëtre. Admettons que, sur une surface d'environ 250 centimètres carrés, on commette une erreur de 1/2 centimètre carré; cette erreur représentera la 300* partie des frais du déblai; elle correspondra au transport de 40 tMK) mètres cubes à 10 mètres de distance, ou de 200 mètres cubes à une distance moyenne de 500 mètres. Cette quantité peut certainement être négligée par rapport A un déblai aussi considérable, et l'approximation est suftisaDte. Les prix de terrassements ne peuvent d'ailleurs pas, en général. Être calculés avec une approximation de 1 : 500.

Si, dans les travaux, on emploie diiférents modes de transport, il laudra évidemment mesurer à part la surface correspondant à chaque mode de transport el la multiplier par le prix qui lui est all'ecté.

s TEHHASSEMEKTS

Nous terminerons ce chapitre en montrant par un exemple comment l'on peut se servir des méthodes exposées jusqu'ici pour exécuter graphiquement tous les calculs relatifs aux questions de terrassements : il nous sufBra pour cela de présenter un résumé d'ensemble des constructions exécutées sur la PI. VI, et qui ont déjà été indiquées séparément.

La PL Vl, représente un proJil en long. Si chaque profil en travers était donné, on pourrait réduire ces profils à la base de 10 centimètres au moyen du tableau graphique des surfaces (PL IV). Pour simplifier les constructions, nous avons supposé ici que les profils en travers avaient la forme simple ABC (PI. VIJ pour le remblai et A,B,G pour le déblai. En les réduisant à la base double 0H=2i, on obtient (d'après le n' 19, p. 91) la parabole 000" comme courbe de réduction, et O'X' et CX' comme axes des abscisses pour les remblais et les déblais ; de sorte qu'une ordonnée y de la parabole pour une certaine hauteur ou pour une certaine profondeur du profil représentera la surface réduite, c'est-à-dire que cette surface sera égale à ày.

Si l'on porte toutes ces ordonnées^ (PL VI,) à partir de la ligne des terrassements sur les verticales des profils correspondants, on obtiendra la ligne poinlillée. La surface de ce nouveau profil, comprise entre deux ordonnnées successives, est égale à l'ordonnée moyenne multipliée par leur distance ; elle est par conséquent proportionnelle au cube des terrassements compris entre les deux {)rofils, puisque l'ordonnée moyenne

COMBINAISON DES LIGNES AVEC LES SURFACES, LES VOLUAIES, LES MOMENTS. i 41

est proportionnelle à la surface du profil en travers moyen. Le cube luimême s'obtiendra en multipliant par b la surface du profil pointillé. Pour tenir compte, dans cette réduction, de Terreur que Ton commet en multipliant la surface moyenne par la distance, il suffira de retrancher le triangle d'erreur des deux ordonnées successives.

Transformons toutes ces surfaces en triangles de hauteur constante A, nous obtiendrons de nouvelles bases qui serontproportionnelles aux cubes. Ainsi, pour le déblai commençant en V*, les longueurs 0"i, 1 2, 2 3, etc., sont proportionnelles aux cubes des déblais entre V* et V*, V et VI', VI* et VI*, etc. ; et ces déblais eux-mêmes s'obtiennent en multipliant les longueurs correspondantes par la surface constante bh. Gomme ce déblai est très considérable, nous avons réduit les surfaces à la hauteur 2A ; toutes les bases obtenues devront donc être doublées. Si maintenant on mesure la longueur totale 0"5 au moyen d'une échelle dont les divisions correspondent à la valeur des frais constants de transport, plus les prix d'extraction, multipliée par bh, on obtiendra la partie des dépenses relative au déblai qui suit le profil V*. Il nous paraît inutile de montrer comment Ton pourrait tenir compte de modes de transport et de natures de déblais différents et trouver les dépenses correspondantes.

Ces mêmes longueurs, portées sur la verticale V* dans la PL VI,, donnent les différences de hauteur qui correspondent, sur la courbe du mouvement des terres, aux divers profils, et les surfaces des parties comprises .entre cette courbe et une horizontale déterminant la répartition des sections de transport, fournissent la partie variable des frais de transport que Ton obtient au moyen du planimètre, en multipliant la surface trouvée par bh fois l'unité de prix de ces transports.