LE PARALLÉLOGRAMME DES FORCES

Si l'on fait A = 0, ce qui revient à prendre -r- =qo ou B=oo, puisque

nous représentons A par une longueur constante, la direction de G coïncide avec celle de B et passe par le point à Tinfini des parallèles à B, c'est-à-dire encore par l'extrémité de B'.

Enfin, si l'on fait B = A„la ligne m, qui projette du point 0 l'extrémité de B', partage en deux parties égales l'angle AOB = p — a, et coïncide par suite avec G, d'après la partie de la proposition 3 qui se rapporte

au cas de —= ^. Il y a donc trois rayons du faisceau G (faisceau qui A

est projectif au rapport -- ou à la longueur B, si l'on prend A=l),

qui passent par les extrémités correspondantes de B'. Par conséquent ce faisceau est perspectif au faisceau B' formé en penant tous les B par l'extrémité de A, et toutes les directions de G passent par les extrémités correspondantes de B'.

Par suite on en déduit (v. fig, 95)

sin (y — p) sin (a — -y) * Si l'on détermine de la même manière la direction de A au moyen du

rapport r^j on obtient :

sin (« — y) sin (P — a) ' par conséquent en général

sin (y — p) sin(« — y) sin(P — «)'

Donc :

Trois forces agissant sur un même point, et qui sont en équilibre, se corn-portent en grandeur et en direction comme les côtés d'un triangle qui sont respectivement parallèles aux forces et sont proportionnels aux grandeurs de ces forces.

Analytiquement, oh arrive de la maniôre suivante aux mêmes résultats. Le rap-

port ^ elle faisceau C étant projectils, ^ et tgy doivent satisfaire à une équation

du premier degré relativement à chacune de ces quantités. L*équation doit par suite être de la forme :

« 3 tg Y + A tgy + c g -h rf = 0,

yw" ^

OItIliMBL

mk^^mi^^A^mm^

mptiit Inlt fdflun de A 6i B iadiqnéei plus lunit dmii lu ypopmWoB H^ «t

JBft^^^ I^I^M^^ AjA^^^

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L» «uMairtioii de œs Tatonn de a^ b, e^ d dans II6i|iiation génénle oi-deHiie

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einir-P) «in(«-i);

. On a, par suite d*ime ùiÇfm générale

8in(T-P) «in(«-T) Aa(P-«)'

^D« iSBnOSITIOlf ilB vfmGKS Qui KBaSSKKT ISuA tm mB Wm

Quand trois forces A^, A,, G qui agissent sur un même point sont en équilibre, il est évident que la force G est égale et directement opposée à la résultante de A^ et de A,. Ainsi, si Ton porte les forces A^ et A, Tune à la suite de Tautre, à partir d'une origine 0, en grandeur tit en dhrec-

, „. tion, c*estrà-dire si Ton addi-

tioniie, comme il a été dit au n' 1, p. 4, les lignes qui représentent les forces A, et A„ la somme S|, de ces deux forces sera représentée en grandeur et en direction (fig, 96) parla ligne qui réunit Torigine 0 ^ Textrémité du contour A, -|-A, .

Si Ton agit à l'égard de la ligne S^, qui a son origine en 0 comme à Tégard de A„ et que l'on ajoute à partir de son extrémité , c*estrà-dire à partir de l'extrémité du contour Aj + A^t» la force A„ on obtient évidemment la somme

COMPOSITION DE F0ACI8 QUI AGISMSMT «Bft UN MÊME POINT. Iftl

des trok foroes S,^., = A^ 4- ^ + ^S9 ®^ ^^ûi»i de soitB juafu*à. la dernière force Asf. Lêl force 0^ rq)réseDte alors en grandeur et en direeÉHm la somme S^..« des :six fèrces dosinées^ Dans eetàe eo&stnictîen, les forces ▲ peuvent aToîr des directions quelconques dans Tespace, el-la fy, 96 peut è&re considérée comme une projection parallèle. Si tMe composition de forces devait Mre réellement opérée, il serait aéeesseife» pour déterminer la grandeur et la position des forces A, d*avoir deux dé ces projections, et Ton projetterait les hfaes d*après les règles ordinaires de la géométrie descriptive.

La détermination de la résultante revient donc, comme nous Favons d^ fait remarquer, à Taddition de lignes; Fextrëmité du contour obtenu donne le résultat de cette addition on la somme. Ainsi, ce n*e^ que dans le cas où toutes les lignes ou forces ont la m^me direction, que la distance de Forigine à l'extrémité du contour est égale à la somme ou à la différence algébrique de toutes les lignes ou forces; et de même que du résuhat de FadiKtion de plusieurs nombres on ne peut déduire la grandeur des divers éléments adtfitionnés, on ne peut déduire ici, de la seule position de Fextrémité, celle des divers sommets du contour.

Xta fiff. 96 donne non seulement la somme des forces A,„ mais encore la somme partielle d*un nombre quelconque de forces consécutives. Ainsi la force 2 — 3 est la somme des forces A,^b.

De Fcxamen du parallélogramme formé parles quatre forces A,A,A',A',, dans lequel les fbrces A', et A'g sont respectivement égales en grandeur et en direction à A, et A,, on conclut que Fon arrive à la même extrémité 6 et par suite aussi à la môme somme S,, quand on intervertit dans Faddilion Fordre des forces A, et Â,. Il en serait de même de deux autres forces quelconques, par exemple, de la force 23 = 13*, somme des forces A,^, et A, = A',, puisque 1253* est un parallélogramme. On ne peut réunir que d'une seule manière les points 1 et 3*^ par un tracé A'^^ ^ dont les'divers éléments soient en grandeur et en direction égaux à ceux du tracé 2, 3, 4, 5. Par suite, en partant du point 1, on arrive au même point 5 ou 2^, soit qu'on ajoute les forces suivant Fordre A,, 4,, sôît qu'on les ajoute suivant Fordre A', ^^ ,. On ne change donc pas la direction et la grandeur de'Sj.e quand on intercale la ligne A, entre A, et A, au lîeu de la laisser entre A, et A,. On peut de la même manière déplacer toute autre ligne et lui faire occuper une position quelconque dans le contour. Donc : dans ks additions de ce genre ^ la somme est indépendante de tatdi*e suivant lequel les diverses forces ont été composées.

Par sndogie avec ce qui a été dit au n* 1, p. T, dé ta soustraction dessus, neuB ^itendrons par soustraction da iorces Fintroduction de «es forces dans le contour avec un ngae eon traire. Ru» la /(f.#is4ef liR^ces

il»

GOMPOSITIOlf DBS V0RCE8.

PIg. 97.

Ag et Ag ont été retranchées de S|^,ce qui veut dire que nous avons formé la somme de S,« avec — A% et — Â',, A% étant'égal à A,, et A", à k^, H est clair que le résultat doit être égal à 05', somme de A, , ^ ,; nous avons en effet démontré que le résultat final est indépendant de l'or^b^ de succession des lignes; par conséquent nous obtiendrons la mtaie somme OS'' en additionnant dans Tordis suivant :

A.+À,-A%-hA, + A, + A. + A.^AV

Bn effectuant la somme A, — A%, on avance et on recule d'une même

quantité, et on reste ainsi au même point du contour; il en résulte que les additions A, — A% et A^ — A^, sont sans effet sur le résultat final, qui doit, par suite, être égal à la somme A^^^g.

On en déduit que, lorsqu'on introduit dans un tracé deux forces égales et de sens contraire, ces deux forces se détruisent mutuellement.. La fig. 97 montre d'une manière spéciale que l'on arrive à la même

somme lorsqu'on néf^ge complètement deux forces égales et de sens conU^aire, par exemple les forces A, et A^. Tout le contour A^g, peut se transporter parallèlement à lui-même le long de ces deux forces & l'autre extrémité de A g et A,, sans que les relations d'équilibre des autres forces soient troublées. Ces deux forces se détruisent donc sans rien changer aux relations d*équilibre des autres forces. On arrive au môme résultat en plaçant dans le contour les forces A, et A^ immédiatement à la suite Tune de Tautre.

Si, dans un contour fermé, il se trouve des forces de sens différent (*), la somme de toutes les forces de même sens est égale à la somme de toutes les forces de sens contraire. On peut s'en convaincre facilement en composant toutes les forces de môme sens. Dans le contour 12.. .8 {fig, 98), nous avons donné le môme sens aux forces i, 2, 4, 6 d'une part et aux forces 3, 5, 1, 8 de Tautre; en composant toutes ces forces dans Tordre 1, â, 4, 6, 3, 5, 7, 8, on voit que les forces 1, â, 4, 6 et 8, 7, 5, 3 ont la môme somme 0(3 — 6J.

(* ) Dans un contour polygonal, dont les côtés représentent des forces en grandeur et en direction, les forces ont le même sens si un mobile qui suit le contour les parcourt toutes dans le même sens, c'est-à-dire en allant constamment de Torigine de chaque force à son extrémité, ou inversement