COMPOSITION ANALYTIQUE DE FORCES FORBiANT UNE GERBE

Noos nous appuierons sur la proposition démontrée au n* 37, p. 149, que trois forces en équilibre peuvent être représentées en grandeur et en direction par les grandeurs et les directions des trois côtés d*un triangle, c'est-à-dire d*une figure fermée.

{*) Une gerbe m une fonne géométriqae composée de lignes droites passant par on même point, mais dans nn même plan ; c'est le faisceau dans Tespace.

^qg^ j^ ■-■ ^^^mm^ mu i ■ ■ ■■ ■ ' ' ■ ■■■-■■■ ' . ■.»!---

YuZtf iM oooïdOBBéM de reacbrésiné d^iue lom A< ayant «m point d^pBnâoii àlV>f^|ihw4ea«»i4wuiilB». HoiurauMB, entra trois foroeB «iéQÉaitm, A«» A|, A«,

lA HMdtanta ^ dia iOMMi A« ft As étauie «ne ftMa talla «QOi 0^^ «Ha loit en éguilibre afac^ et Â^, on aura

Xii^Xi + Xt.

Yt,»=Yt + 1i,

Si maintenant nous composons la résultante 8|t atee nwa tiaisiàraa tece A^ anrous de ta mSme manière :

ék, par snlii^ dPnne ft^en gMmk : «^Mf* :« ,

laillPM £ Mlentent^ tentés létf^fofosifilieiMiiianr HAiiirdg eawpTMiiffaïaansuna Afinle mÉtnaieiitroiii èsmées sons leur tonne nsuaUa, mnltipJiffMJtoaa Jes X psr ^m fpriiiy^ fc^tmm Isa T par une variable it, tons les Z par une Tsrialile C, et posons

«S<»2éE4-Yii|4>Z4 .

91 neMrappsèBM a^.*** is us'tf giiiiisif nilssIiA^ki^ demment:

r|..«ti ^ X|«.«nÇ ~r *i»««iii'ï "t" •!•••»•> "^^ ^^***

Peur donner à cette formule une valeur pratiquCt nous allons lui attribues mue signiflcation géométrique, et les propriétés de la forme géométrique à laquells nous assimilerons la formule seront aussi applicables à celle-ci.

Nous admettrons que Ç, "n, C soient les coordonnées plncXériennes d*un plan, c^eatà«dire les inrerses cbangées de si^e des segmenta interceptés sur les asea ée coordonnées par un plan variable (*). Alors a'i = 0 sera Féquation du pointa rinûni de la force A<, et a't + 1 = 0 celle de son extrémité.

Soient maintenant Stf, 6i, a les coordonnées d*un point quelconque pris svr la direction de la force At. Cette direction sera représentée d'une façon générale par réquation

* de son point à Tinfini, et on aura entre les coordonnées du point (a«6,t;.) et celles de Textrémité de la force (XtY,Zt) les relations :

Xi Y. Z. Ai

* ^ ^ [eï= V«? + ^? -t- c? + »6<c<«, -f-'»ft«iM, +aN6i«»,J

(*) Yoir la note B.

ÉQCaiBRE DE QUAIUIB FMICB6 POKHâMT UNE GERBE. fW

«*,, tt| et tt»| étant les connus des angles formés par las ases de rnerdimiiées, et 9i Il distance du point aJbiPi à Porigine. On déduit de ces relations :

fi Posons

Nous appénerans a, = 0 la forme normale de Téquation du pointa rinfiniaiir la dirsefion de la force A«. Cette forme normale n*est autre que Téquation du point de la direction A^ situé à l'unité de distance de i*origine, diminuée de 1.

Nous aurons par suite a', = kifn, et l'équation du point à l'infini de la résultanteaera

9|...K = SAttttf = 0.

L*équation de Vextrémité de la résultante sera

<Ti...» + 1 = SA.*, 4-1=0.

De là on déduit pour la gxandeur de la résultante :

' V +.(.»,|)(«,î)i^+.(xA,|)(»,î)^

Si, dans les formules qui précèdent, nous regardons comme ayant le signe poléanllBEiffee 6|...i»et tousles Af, la ligne d^pplication d^une force sera déter-

aam ambigiffté par les signes de ~ , —, —, et la force elle-même par les

Ci Ci 0i

des sommes correspondantes (*}.

UTéaolte de la nature ndéme de Féquittlon que, lorsque totttes les fcntsés données •ont situées dans un plan, la résultante elle-même est située dans ce plan. Si nous r'f»**?*» dans ce plan les axes des x et des y^ nous obtiendrons les formules correspondantes en remplaçant simplement dans les formules trouvées plus haut c et Z farO.

Uam écfirona de nourean les ibrnmles pour le cas d'un plan. L*équatien générale 4a peint à l^inflni iie la force A* sera

et sa forme normale

Ci = ^aî + bi -t- 2ai6,ti>,

•éteatran^ daaaaaatdee coordonnées.

UéqaatîQn da point à l'infini de la résultante sera

OTairiiMteC.

et la gnndMir da cette léfiUtanta

v..=v("-:m-ii-("'I)(»-I)-

En fainnt Bnccurivement daoa ^'am + IbO, n=l, Z-ji, on obtient n points

corrMpendant nnx sominet* du polygone dtt foret», que l'on obtiradmit gnpbi^Dement par l'Addition des ligne* repréwatsnt le« (tircet (n* 38, p. 150}. Notu voyons ■lui, ctnune none l'avoni fait remorquer dans ilntaoducUon, qne la compoaitîon graphique et la composition analytiqae dee forces sont des opAratlons identiques.