RÉSULTANTE DE PLUSIEURS FORCES CONSÉCUTIVES

La résultante de plusieurs forces consécutives passe toujours par le point de rencontre des côtés extrêmes du polygone funiculaire qui réunit ces forces.

La résultante des forces 2 et 3 (PI. YJ, par exemple, passe premièrement par leur point d^intersection 3, ; elle est en outre parallèle au rayon 0,(34) qui, dans le polygone des forces (fig. 3), sous-tend les forces 2 et 3. Mais la diagonale 3j (34) {fig. 4) est parallèle à la direction de la résultante (23) {fig. 5), parce que ces deux lignes forment les sixièmes côtés de deux quadrilatères complets 2 (3 4) (3 3,) [fig. 4) et 0 (12) (2 3) (3 4) (fig. 5), qui ont deux couples de côtés opposés et un cinquième côté respectivement parallèles. En effets dans les deux quadrilatères, les directions des deux forces 2 et 3 sont parallèles, et les trois côtés successifs du

polygone funiculaire i 2 (3 4), 2 3 (3 4) 3 4 sont parallèles aux rayons

0(!i,23,3 4). Par suite la ligne 3,(34) du polygone funiculaire coïncide avec 1» posiLion de la résultaDte 23 eL passe par le point d'intersection (34) ■dacôlé 12 dn polygone Tnniculaire qui précède 2 el du côté 34 qui suit 3.

U eu résulte aussi qu'il csL ubsolumcul indiflërenl de composer l'une aprës l'autre les forces !23 ou de composer immédiatement la résultante 2 3 avec I .

Si l'on prolonge (PI, V^) la force (23) jusqu'à la rencontre de la force 4 en 4„ la ré.sultanle de (33) et de 4 ou la force (2 3 4) passe parce puiuti,, vt, de la mi^nie manière que uuus venons de démontrer que la résullanle (2 3j passe par le point de rencontre (34) des deux côtés du polygone dont l'un précède i et l'autre suit 3, on démontrerait que la résul- Uinlti dti {i 3) et de 4 passe par l£ point (45), où se coupent le c6lé du polygone 1 (3 4), qui précède la force i 3, et le côté 45, qui suit 4. Pusuite, U ligne 4,(4 5) est la résullantedes forces (234). En continuant de la tnhme manière, on peut démontrer qneles points d'intersection (56), (fi 7), (78), etc., du côté du polygone 12 qui précède la force 2, arec les côtés du polygone qui suivent les forces S, 6, 7, etc., qui portent les mêmes notatiuns (5 6), (C7), (7 8), etc., sont des points delà résultante des forces (2. ..5). (2. ..6), (2. ..7). Si l'on utilise ces points d'inlersection pour construire le polygone 2 3,4,5, ...9,, qui commence piir la force 2, on obtient la position de ces diverses résultantes, qui doivent avoir les mômes directions que les rayons 0, (23, 34, 45...) (PL V,) du faisceau qui a son sommet ù l'origine 0, de la force 2.

Si l'on considère les côtés d'un polygone funiculaire comme les rayons d'un faisceau, les relations que nous venons de démontrer en dernier lieu enlre les fig. 4 et 5 séparées peuvent s'exprimer géométriquement de la manière suivante :

tes faisceaux 1234... ef 2 3, 4, ... ont le rayon 12 commun.

Ceci n'est du reste qu'un cas particulier de propositions que nous dé- ■montrerons an b* 46.

De phis, le premier faisceau a en commun avec le faisceau de premier ordreO la droite à l'infini, et le deuxième faisceau a celte même droite en commun avec le faisceau de premier ordre 0, de la PI.' V,. Par suite, la TiésulUnle ■d'un nombre quelconque de forces consécutives est complètement déterminée par un polygone funiculaire et un polygone des forces ; le point d'intersection des côtés extrêmes du polygone funiculaire donne un point démette résultante, et, dans le polygone des forces, la ligne qui sous-tend toutes les forces partielles détermine la grandeur et la direction de cette résultante. Comme d'ailleurs chaque résultante forme dans le polygone des forces, avec le pôle 0, nn triangle dont les déni Butres côtés r^résentent en grandeur et en direction les tensions

CHANGEMENT DE L OEDtE DANS LA COMPOSITION DES FORCES. i63

des côtés extrêmes du polygone funiculaire, on peut aussi considérer cette résultante comme la résultante de ces tensions, pourvu que Ton ait égard au sens des flèches.

Ce que nous venons de dire peut se démontrer analytiquement d*une façon très simple. Sr peut être décomposé de la foçon suivante :

Or on sait que quand les équations de trois droites sont reliées par une équation du 1*' degrés ces droites passent un même point; le théorème démontré dans le paragraphe résulte donc inunédlatemeut de Téquation ei-dessus.