CHANGEMENT DE L*0RDRE DANS LA COMPOSITION DES FORCES
Si Ton change dans la composition des forces Tordre de deux forces partielles qui se succèdent immédiatement, par exemple des forces 2 et 3, ce changement n'a aucune influence sur les résultantes suivantes.
Nous avons déjà démontré précédemment (n* 38, p. iSi) que ce changement n'a aucune influence sur la direction et la grandeur des résultantes, et que, dans le polygone des forces (PI. VJ, les deux contours 123 et 1 3^2 j aboutissent au même point et conduisent à la même position pour la force 4. Il en résulte que la position 34 (PI. VJ de la résultante dans le polygone funiculaire qui est identique à 2^ 4 n*est nullement modifiée par ce changement dans Tordre de succession ; car cette résultante doit passer par le point 3 4, qui est déterminé par Tintersection du côté 12 du polygone avec la résultante 2 3 ou 3,(34). Par suite, le contour 13^ 2"^ 45 conduit au môme résultat que le contour 12345... La force 2 pourrait être de la même manière intervertie non seulement avec 3, mais aussi avec la résultante d'un nombre quelconque de forces consécutives, sans que cette interversion modifiât le résultat final.
Ce que nous venons de dire de la force 2 s'applique aussi à une autre force quelconque. Nous pouvons donc, par l'interversion des forces entre elles, amener chaque force à une place quelconque dans Tordre de succession, sans modifier en rien le résultat final, c'est-à-dire la grandeur, la direction et la position de la résultante.
Donc : La résultante de plusieurs forces situées dans un même plan est complètement indépendante de Vordre suivant lequel on opère la composition des forces entre elles,
AnslTtiquemaiit, oette propriété résulte immédiatement de Téquation
S5 = lAa,
ctr Tordre suivant lequel on compose les différents éléments Aa ne modifie nullement la somme S5.
no «POSITION
' të. CBAK6IMKIIT &'UNE FORCE DANS Lh: POLYGONE PUNICULAIHB
Si âans un polygone Auùcalaire, tracé soivant un wdte de soccMsioii déterminé dans la composition des forces, on remplaça une force quelconque par une autre force ne faisant paa partie de la »érie, ancuae des résultantes précédentes ne sera changée; mais ioates les résnltantes suivantes ou les cAtés du polygone funiculaire seront modifiés de telle manière que deux cfttés correspondants des polygones se coupent sur la résultante des forces considérées, dont l'one aura été préalablement cbangée de signe. .
*~ Ainsi, si l'on suppose (PI. V,) que l'on remplace la deuxième force 3 par la force 2, , ce qui représente un cas abaolnmeat général, car on peut concevoir que 1 soit la résultante d'un nombre quelconque de forces qui la précèdent, le côté qui suivra la n~ force représentent la résultante des forces (1, S, 3 ... n) et des forces (1« Si, 3 ... n] dans les devx polygones. Si l'on veut passer directement de l'une des résultantes & l'antre, il faut évidemment composer (1, S, 3... n] avec(— S + ^i) pour obtenir (1, S„ 3 ... n). Par suite, ces trois forces se coupent en un m6me point; mais comme la position de (— 3-f S,] reste la même pour toutes les con:ibinaiBoas, toutes les résultantes se coupent si^ant la ligne ( — i+i,) ou, ce qui revient au même, suivant la ligne (-\-i — 2,).
La résullante ( — 2 + 2,) passe naturellement par le point d'intersection A de ces deux forces, et l'on obLient sa direcUon en portant, à partir de A, ces deux forces en grandeur et en direcUon, et en joignant leurs extrémités : car, dans le petit triangle auxiliaire que l'on forme de cette manière, les flèches de 2 et de 2, ont des sens opposés. La ligne menée par A parallèlement à ( — 2 -j~ S,) est donc celle sur laquelle se coupent deux à deux les côtés correspondants des deux polygones funiculaires.
Si on introduit la force 2, dans le polygone des forces, à la place de la force 2, de telle façon que l'extrémité de cette force coïncide avec le sommet 23, il est clair que tous les sommets précédents, et par conséquent aussi le pAle 0, seront déplacés en grandeur et en direction de la quantité (—2 + 2,).
Il résulte aussi de ce qui vient d'être dit que les cMés correspondants de deux polygones funiculaires qui réunissent la même série de forces se coupent sur une ligne droite qui est la résultante des deux forces qui agissent sur les premiers cOtés des deux polygones, l'une de ces forces ayant été préalablement changée de signe. Par suite, on peut dire d'une manière générale :
COVPOSITION, DANS L*BSPACE, DE FORGES QUI PASSENT PAR UN MÊME POINT. i65
Deux polygones funiculaires quelconques^ qui réunissent la même série de forces y ont une ligne droite commune. On obtient la direction et la position de cette ligne en composant ensemble les résultantes de toutes les forces gm\ dans chaque polygone, précèdent ou suivent la série commune, après avoir changé le signe de Vune des deux résultantes considérées.
Il est à peine nécessaire de faire remarquer que les deux polygones (PI. y^,) sont compris dans cette proposition, car la force i est la seule qui ne soit pas commune aux deux polygones ; par suite, tous les côtés correspondants se coupent deux à deux sur la direction de cette force 1. Cette proposition est éminemment utile, car elle nous met à même de construire un nouveau polygone funiculaire sans recourir au polygone des forces.
Avec l'aide du polygone des forces, on peut construire chaque côté du polygone funiculaire sans déterminer les côtés précédents.
C*est ainsi que dans la construction des courbes de pression des arcs métalliques ou des voûtes, il est possible, quand une de ces courbes est construite, de changer à volonté la grandeur et la direction de la poussée horizontale, et d'obtenir immédiatement, comme nous le verrons plus loin, les changements correspondants du dernier élément de la courbe.
Nous allons démontrer d'une façon générale, par Tanalyse, la proposition relative an remplacement des forces^ et nous en déduirons les cas spéciaux dont la démonstration a (ait Tobjet du présent numéro et du précédent.
Soient S*»* et S'i^'i les résultantes des forces qui précédent la série commune t + 1 ... Il, et
S»«n = Si«4 + S,-^.n*i...»
les résultantes des n premières forces des deux groupes que Ton obtient en remplaçant les t premières forces Si^i par S'iVi. La soustraction donne :
Comme S^t — S'i^» reste constant, quel que soit le nombre n des forces considérées, il résulte de cette équation que Sh et s'n se coupent sur la li^ne que Ton obtient en composant les résultantes de toutes les forces qui, dans chacun des deux groupes considérés, précèdent la série commune, et après avoir changé le ligne de Tune de ces résultantes.
47. COMPOSITION ANALYTIQUE, DANS l'eSPACE, DE FORCES QUI PASSENT PAR UN MÊME POINT OU SONT SITUÉES DANS UN PLAN.
Dans les numéros précédents, nous avons supposé, pour la composition des forces, que celles-ci passaient toutes par Torigine des coordonnées, ou qu'elles étaient âtaées dans le plan des xy. Nous nous proposons maintenant, pour arriver ultérieu-
rflm«nt i la coinpo«itfon des forces dans l'eapsce, do transformer ta» (brnmlés nhtenues ds t'avnn i^u'altas puUsent s'appliquer k un faisceau ou il un plaa itualcoDiiuo de l'espaee.
Nous Buii-rona tino marche analogue à celle du n° 39, p, 154, et uous admettrùcs (f«e les coordonnées da point & l'inOni d'am force «oietit âonaéM sons la forma 'tii 'tf 'lit 0 = — 'il 1 — fft. — Itf ^- ^ooi* la délanniaatioDcompUto de la tigne d'application de cette force, uou^ avons besoin <le coauatti'o los coordonnées /), J„ /|,I d'un second point [par exeinplo du nunlre du fnisceauj.
Nonii aoroua. dans ce syslAme de notations (')
„^, ( qu'un point ^ni ae tronte lur cette Uirna, J , . , ^ . '
MtlalUre aux éqnatloiis :
«m, d'un totoU géutnit, aa n^FéMÉteat par |iUt «m OMMoalaM «Mlmaqu,
miOa de mAme daMSt-dai quatre iodioM 1234, «iparcci, a^o^c^d, ^^dlM coordonnées x, y, x, ii, {, n, t, ■>, anx Aquatloiu :
0 = Vk + /tj,z« + l^ak et 0 = ^kb + /(<& + IftEu
qti tont rMt>««tlfAiii«kt 1« SqnatlabB d« ptàu dé pnjitetloii «M U Ugna tn Ua pUiU coordotinSe. Hifl, ^»ir qoé odâ MtK poMbla, on ddt «tfllr •
'.l 'il /..
s=('ii4» + ^l'ii + *uW-0-
Dans ce» éqnattons, nona aronS remplacé U quatrième coordonnée I par les lettres u et v, pour indiquer que 1m Aqaationi et 1m coordonnéM peuvent être multipliées par des coefficients arbitraires.
EnQn les coordonnées
E' Ti' t;' v' du plan qui projette la ligne du point fixe k'^'z'1,
3f'y"^'u" da point d'intersection de la ligna avec le plan flse ("i*^"!",
Bdnt r^iriseDtées pftr les éqnatlons
3f', = Itlfi'K + l,&". + (,lE"i ,
car, en premier lieu, les 6' et les x" ssUafont aux équations posées, ce que l'on vérifie aisément en tenant compte de ce que S ^0; et, en second lieu, on a respectivement, pour Im points et les plans :
Vx' + l'y' + Çï' + v' = 0 et ÎV + tt'Y +■ f'j" + u" = 0.
COMPOSITION, DANS LESPACE, DE FOECBS QUI PASSENT PAR UN MÊME POINT. 167
Au moyen de cas yalenrs ^'g et x"g^ on pourra enfin forint les équatioiis du plan r qui projette la ligne / du point (x'y'z'l)y et du point V\ suivant lequel la ligne / coupe le plan (4''i|' Vl)» savoir :
Gela poaéf nous aUons passer ft la détermination de la résultante d'après la ■éthode du n* 39, p. 154. L'équation du point à Tinâni de la force A agissant su!lant la droite /est :
Le £ut0nr qui mena cette équation à la forme normale est :
«? = V^i + «« + 'îs +2/4,/43u;i + 2/48/utt', + 24i/4,tcs. Cette Ibrme normale sera par loite :
L*équation du point à Tinâni de la résultante sera :
a =: SXA,
le signe Z s'étendsnt à toutes les forces à composer.
Les /41 ne se présentant qu'à la première puissance dans cette équation, les coefficients a^ de réquation du point à Pinânl de la résultante, c'est-A-dire les coordonnées de ce point à Tinfini seront :
Désignons par aj, a^, a^ les coordonnées du centre fixe du faisceau; nous aurons évidemment pour les coefficients qui entrent dans les équations de la résultante :
an =
ah
ai ûk
U^ Uk
Projetons maintenant les directions des forces et de la résultante par un point fixe (xyjrTl), et coupons-les par le plan fixe {h"T\'V"^) ; nous désignerons par /' I0 plan de projection des différentes forces et par a' celui de la résultante, par V les points d'intersection des différentes forces avec le plan fixe, et par a" celui de la rémltante.
Nous aurons alors, d'après les formules préparatoires indiquées plus haut :
a' =Ç'x+ Vy -fÇ'z + r' = 0 et a" = x"l + y^ri -\-z% + «", <rà les coefficients ont les valeurs suivantes :
^'g = at^'h -f Okhx'i -f flMx'* et x"g = aghi"k + agti"i + ag^'\.
Ces formules ne contenant les éléments — lu qn^u premier degré dans i'g et mite aussi dans a\ on peut les écrire de la manière suivante :
a' = ir- et a" = SV'-.
COMI-OSITUIN DES FOIICES.
démontrer pour le raisceau se démontra aussi pour le plan Ifis- W).
ProjetooH toutef^ les forces données, situées dans le même plan , sur un des plans de coordonnées, celui des xy par exemple; composons, dans ce dernier plan, toutes les projections suiiant les rèRles du n- 43, p. 160, puis projetons la résultante sur le plan des forces par un plun perpendiculaire au plan des j^. Cette dernière projection sera la résultante dos forces données, car le parallélisme respectif des rayons du polygone des forcée et de ceux du polygone funiculaire subsiste dansles projections de ces po)yi;onea. L'équation de la projection de la ligne /
Le facteur -
rapport de ta force projetée à la longueur projetée e', quî ramène l'équation à sa forme normale, est même signification que précédemment,
or A «t A', « et c* xmt dea Mgmoiti de droitea inteie^téi par dee ordonnéea pa> nllèlaa, comme le montre U/l9.9S.L'éqtuttloii delà pntJectioii de Iftréaultanteieni dono :
1 peut de la même façon projeter le système de forces donné sur trois coordonnas, d'où résultent des systèmes semblables, on a d'une manière
Comme < antres plan générale :
On peut en outre démontrer comme précédemment que si, d'un point fixe, on projette chaque force par un plan f, et qu'on coupe chaque force par un pian au point X'', on a, dans tous les cas :
a- = l.^P et ."=L^V'.
On peut, par suite, énoncer d'une façon générale la proposition suivante ; Si, ilant donné un système de forces passant toutes par le mAne point ou situées dans un mime plan, on multiplie les coefficients entrant dans les équations de In direction de
tliaqut force par le facteur normal —, et qu'au moyen des coefficients ainsi modifiés on
forme les iguations des plans qui projettent les différentes forces d'un même point fixe pris arbitrairtmenl, ou bien les équations des points tfintersection de ces foras par un plan fixe, les coefficients eorrespondonts des équations de la résultante sont les sommes algébriques des coefficients des équations des différentes forées, et tes équations du plan gui, du point fixe, projette la résultante, ainsi que celle du point d'intersection de celle résiliante avec le plan fixe, sont les sommes algébriques des équations coirespondantes des différentes forces.
HOHE^T DES f
i DANS LE PLAN.
