DÉTEKHINATION GRAPHIQtTf! DBS MOMENTS

La déterminatioD de la grandeur des moments s*opère très simplement par la transformation des sarfaces qui les représentent, et nous n*aurions rien à ajouter à ce qui a été dit au n* 15, p. 79, s*ii n'était pas possible de donner à ces constructions ou à d'autres analogues un sens plus statique, si nous pouvons nous exprimer ainsi.

De même quB, pour la transformation des surfaces, nous les avons toutes ramenées à une base constante, afin d'obtenir des lignes qui fassent proportionnelles à ces surfaces, de môme, pour la détermination des moments, nous ramènerons tous les moments à une force constante H contenant un nombre rond d'unités de poids, de telle manière que nous puissions lire sur le bras de levier h de cette force le moment HA.

Comme le moment de toute force qui passe par le pôle des moments est égal à 0, nous arriverons facilement à déterminer le bras de levier h en décomposant (fig. 102 et 103), dans le polygone des forces, la force donnée P en deux composantes dont Tune soit en grandeur et en direc-* tion égale à la force H prise pour base des moments, ce qui détermine la deuxième composante Q. Si par le pôle 0 (fig. 103) on mène une pa-

ITS COMPOSITION DBS POECBS.

rallèle OA à Q, et qu'on suppose la décomposition de P effectuée au point de rencontre de la force P avec cette parallèle, la force Q passera par le pôle, et le moment de P sera égal à celui de H ; la perpendiculaire h (que

FIg. IM. Fig. 103.

Ton n'a pas toujours besoin de tracer) abaissée dû point A sur une parallèle H menée par le pôle 0, est le bras de levier cherché. Pour montrer que toute cette opération n'est qu'une transformation de surfaces, nous avons reporté sur la fig. i03 le triangle PQH, et Ton voit du premier coup d'œil que HA est le double de l'aire de la surface ombrée, qui représente le moment de P.

Nous devons faire remarquer ici que le sens de la surface ne dépend pas de la position de A, mais uniquement des flèches des forces P et H, qui doivent toujours donner des surfaces de moments parcourues dans le même sens. Gomme tous les triangles représentant les moments ont un de leurs sommets au pôle 0, le sens de la surface doit toujours être d'accord avec le sens de la rotation de la force autour du point 0.

Appliquons ce que nous venons de dire à la détermination du moment de deux forces, et choisissons, par exemple, pour ces forces les tensions des deux côtés extrêmes d'un polygone funiculaire ou les résultantes des forces comprises entre ces côtés. Soient 0 {fig, 104) le pôle des moments (voyez aussi le polygone des forces, fig, 105), P et Pj les forces dont nous avons à déterminer les moments ; enfin soit H la base des forces à laquelle nous devons réduire les moments cherchés. La fig, 105 indique la décomposition de la force P en H et Q. et de la force P, en H et Q, ; on obtient les points A et Aj {fig, 104) sur lesquels la décomposition doit s'opérer, en menant OA et OAj parallèlement à Q et Q, (dans la fig. 105). Les perpendiculaires A et A, à une parallèle à H menée par le point 0, sont les bras de levier cherchés. Ces deux bras de levier s'additionnent parce que les deux forces P et Pj, de môme que les deux forces H, tournent dans le même sens autour de 0. La ligne A + A, (qui est indiquée par un trait

DéTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS.

fort sur la fig, 104) multipliée par H est, par suite, égale au moment des deux forces P et P,.

Si le p61e des moments se déplace sur une ligne OG parallèle à la résultante de P et de Pj, A + A, ne change pas. Si, en effet, on prolonge la droite AO jusqu*en B, où elle rencontre la parallèle BG menée à P par le point G, A,B et H sont toujours parallèles, comme sixièmes côtés des deux quadrilatères OA^GB {fig. 104) et PP,0,0 {fig. 103), qui ont déjà quatre de

Pig. 104.

Fig. 105.

leurs côtés parallèles deux à deux, ainsi que les cinquièmes côtés : par suite A + A, ^st toujours la projection sur une perpendiculaire à H de la ligne AB, qui se meut parallèlement à elle-même entre deux parallèles, et qui, par suite, conserve toujours la môme longueur. Si 0, et avec 0 la ligne OG, se rapprochent du point dMntersection D des deux forces P et P,, et par suite de leur résultante, la figure OADA^ (A + A,) reste toujours semblable à elle-même, et A-fAj varie proportionnellement à la distance du point D à 0 ou OG. La longueur A -f- A^ devient égale à 0 quand OG passe par D.

Nous avons, il est vrai, déjà énoncé et démontré cette proposition [n*48^ p. 470); mais nous avons voulu en démontrer géométriquement Texactitude, parce que nous Tutiliserons plus tard.

Si Ton a à déterminer le moment d'un très grand nombre de forces que Ton ne veut pas relier par un polygone funiculaire, on peut aussi employer avec avantage la construction suivante.

On décrit du pôle 0 (PI. Vil) comme centre une circonférence de rayon H; ce rayon doit être choisi sufiisamment grand pour que la circonférence coupe toutes les forces dont on a à déterminer les moments. Si Ton considère alors H comme la base de tous les triangles représentatifs des moments partiels, les antiprojections A^ A, ... des différentes forces

siir le rayon qui aboutit à l'un des points d'intersection de chaque force avec la circonférence, seront les bras de levier cherchés, et, en les ajoutant, on obtiendra le moment total.

Les surfaces sont des produits de deux lignes homogènes ; il n'en est plus de même des moments, qui sont le produit d'une force et d'une ligne, c'est-à-dire de deux éléments absolument hétérogènes ; et l'on peut se demander s'il est permis, ainsi que nous l'avons fait, d'intervertir et de composer ces éléments comme s'ils étaient homogènes. A cette question, on doit répondre par Taffirmative. La surface qui représente un moment, considérée en elle-même, doit être regardée comme absolument homogène. Les kilogrammètres, par exemple, ne sont ni des kilogrammes, ni des mètres ; mais des kilogrammètres, c'est-à-dire le produit de ces deux éléments, et, de même que ce produit peut être transformé, de môme la surface qui le représente peut être transformée aussi, à la condition toutefois qu'elle aura été obtenue originairement par la multiplication d'une force et d'une ligne.

On peut, en conséquence, tout aussi bien transformer cette surface que remplacer le momentd'une force de 4 kilogr. agissant sur un bras de levier de 15 mètres, par le moment d'une force de 10 kilogr. agissant sur un bras de levier de 6 mètres. On peut aussi remplacer tout aussi bien le bras de levier par la force, que Ton peut, dans l'exemple cité plus haut, admettre une force de 6 kilogr. avec un bras de levier de 40 mètres. Mais il faut toujours, quand on a mesuré sur l'échelle des longueurs une des dimensions suivant lesquelles la surface qui représente les moments a été décomposée, mesurer la dimension qui lui est perpendiculaire sur l'échelle des forces qui a seni à porter les grandeurs des forces sur la première figure représentative du moment.

Les constructions qui ont ser\1 à réduire les moments à un bras de levier contenant un nombre rond d'unités de longueur sont, par suite, exactement les mêmes que celles qui ont servi à la réduction des moments à une force contenant un nombre rond d'unités de forces. Si, par exemple [fig. 103), H est exprimé en un nombre rond d'unités de longueur, on peut lire A -(-A, sur l'échelle des forces, et considérer cette force comme agissant à l'extrémité du bras de levier H.