FORCES nFINOlBHT PETlTfîS SITUËK A l'IHFUII

Quand deux côtés du polygone funiculaire sont parallèles, leur intersection se trouve k l'inllnl, et leur direction est aussi celle de la résultante des forces qui agissent entre ces c<ttes. Sur la PL V,, par exemple,

FORCES INFWIHCNT PETITES SITVéES A L'iNFINr. 475

les côtés 4 5 et 9 i 0 du polygone sont parallèles ; par suite, le point à Tmfini de la résultante des forces (5, 6, 7, 8, 9), c'est-àr^ire de la direction de cette résultante, est déterminé; mais la position de cette force ne Test pas encore. Pour la déterminer, il sutiit de relier ces forces par un autre polygone funiculaire quelconque 4, 5, 6^ 7, 8^ 9, 10, , dont le pôle correspondant Oj dans le polygone des forces (PI. VJ ne se trouve pas sur le rayon 0(54) (910) mené parallëlemenL aux côtés parallèles du polygone funiculaire, et de prolonger jusqu'à leur point de rencontre les côtés extrêmes 4,5, et 9,10, (PI. VJ de ce polygone funiculaire; on obtiendra ainsi un point de la résultante (5 6789), dont la direction et la position sont maintenant connues. Si la résultante se trouvait elle-même à Tinftni, il faudrait aussi que les côtés 4, 5, et 9, 10, fussent parallèles, el, dans ce cas, la résultante passerait non seulement par le point à Tinfini du côté 45 du polygoBe, mais aussi par celui du côté 4, 5,, et elle serait entièreraflient à Tlufini. Pour que cette circonstance puisse se présenter, il faut non seulement que les rayons 0 (45) et 0 (910) du polygone des forces (PI. y,) coïncident, mais aussi les rayons 0, 45 et 0, (910), ce qui n'a lieu que lorsque les points (45) et (910) coïncident eux-mêmes, c'est-àdire quand la grandeur de la résultante (56789) est égale à 0, ou pour mieux dire est infiniment petite.

Ces farces infiniment petites, situées à Tinfini, composées avec des forces finies, située à distance finie, ne peuvent pas, ainsi que le montre le polygone des forces, changer la grandeur de la résultante ; mais elles en changent la position, ainsi que cela résulte du polygone funiculaire. Si Ton compose, par exemple, les deux forces é^les 6 et 7 qui sont parallèiesy mais qui agissent dans un sens opposé, et que Ton appelle un couple (ces forces sont la conception la plus simple d'une force infiniment petite à Tinfini), avec la force (12 345) dont la direction et la position est 56, celle-ci se transporte en (78); de même la position de la fofce (2345) composée avec le même couple 6 7 se transporte parallèlement à dle-même de 5,6, en 7, 8,.

n résulte également de ce qui vient d'être dit que des forces infiniment petites situées à Tinfini sont des grandeurs de même ordre que des forces finies qui agissent à distance finie, et qu'elles peuvent être composées avec ces dernières. Des forces finies qui agissent à Tinfini sont des grandeurs infinies, qui ne peuvent plus être coitiposées avec des forces finies; car si une force infiniment petite située à Tinfini déplace la résultante (2 ... 5) d'une quantité finie, une force finie située à Tinfini la déplacerait d'une quantité infinie, et la composition ne serait phss possible. H est tout aussi évident qu'une force infiniment petite agissant à une distance finie ne peut jpas faire varier la position d'une résultante finie, et qu'ele

Comme les intensités des forces qui agissent suivant la direction d'une mfime ligne droite sont proportionnelles à leurs moments par rapport à un môme pôle, les intensités des forces qui agissent suivant la direction de la droite à l'infini seront aussi proportionnelles k leurs moments par n^port à un pâle quelconque. Hais le déplacement de la position dn pAle dans l'espace Bni ne produit sur le bras de levier des forces à l'infini que des changements qui peuvent 6tre négligés; par suite, le m(»nent des forces à l'infini est le mfime pour tons les pAles situés à distance finie. Nous pourrons donc, pour toutes les consbuctioos qui s't^rent dans l'espace fini, considérer le moment des forces à l'inflai comme étant la mesure de ces forces. La grandeur réelle de ces forces sera d'ailleurs toujours égale & ce moment divisé par le bras de levier, qui est constant, mais infiniment grand.

On peut facilement vérifier sur un couple que le moment de tontes les j,. Torces infiniment petites situées à l'infini est indé-

Q pendant de la position du p61e, c'est-à-dire con-

jV. slant. Ainsi, par exemple, le demi-moment des

deux forces parallèles, mais qui agissent dans un sens opposé {fig. i06), est égal à la difiiÉrence des deux triangles OAB et ODC ou à la figure ; ABOCDA = au triangle ABD. L'aire de ce dernier triangle est absolument indépendante de la posi< lion du pôle 0, et le double de cette aire est égal ": / y' *" au produit de l'une des forces AB par sa distance

I /' y'' à l'autre force DC considérée comme bras de levier.

j / y^ U en est forcément de même de la somme des mo-

ments d'un nombre quelconq-ue de forces diffé- ;*' rentes dont la résultante est égale à 0. Comme le

^ signe d'une pareille somme de moments est auss

compris dans leur grandeur, il en résulte que le contour des surfaces représentatives des moments de ces forces doit Être parcouru dans le même sens que pour la résultante 0, et que par suite le sens de rotation

COMPOSITION DES FORCES INFINIMENT PETITES SITUÉES A L*INFINI DANS LE PLAN. 177

de ces forces à Tinfini est indépendant de la position du pôle. La surface des moments du couple {fig. 106} est la même, si Ton transporte le pôle 0 en 0, de Tautre côté du couple; la surface est parcourue dans le même sens indiqué par la flèche, et le couple tourne autour de 0, dans le même sens qu*autour de 0.

Au point de vue analytique, la force infiniment petite à TinAni est caractérisée par cette circonstance que les coefficients de x et y dans Texpression S» deviennent nuls; S« se réduit alors ^ A - cia'i et ce moment est aussi la mesure de la force infiniment petite.

52. COlCPOSinON DES FORCES INFINIMENT PETITES SITUÉES A L'iNFINI