CHAPITRE III. — PROBLÈMES DIVERS SÜR LES LIGNES DROITES. IOI

304. A' étant un point donné, si l’on veut trouver une distance A'B' qui soit perspectivement égale à 3 mètres, on tirera DA'R', on prendra R'S' géométralement égale à 3 mètres ou à 3 modules, puis on mènera S'D qui déterminera la longueur cherchée A'B'. En effet, R'D et S'D sont les perspectives de deux droites parallèles, inclinées à 45° sur le tableau, et projetées sur le géométral suivant RA et SB; donc on a

TA = TR, TB = TS, d’où AB = RS = 3ra ;

par conséquent A'B', qui est la perspective de la portion AB, est perspectivement égale à 3 mètres : ou autrement dit, A'B' et R'S' sont deux lignes perspectivement égales; et comme la seconde est dans le tableau même et a une longueur absolue de 3 mètres, la première est dite aussi de 3 mètres en perspective.

305. Réciproquement, étant donnée une portion déterminée A'B' en perspective, pour trouver sa grandeur, on tirera les lignes DA'R, DB'S', et l’intervalle R'S', intercepté sur la ligne de terre qui passe par la trace T' de la droite donnée, indiquera la vraie grandeur de A'B'. Cela résulte de ce que A'B' et R'S' sont (n° 304) les perspectives de deux droites égales AB et RS, dont la dernière conserve sa grandeur originale, attendu qu’elle est dans le tableau même.

300. Pour diviser la portion donnée A'B' en trois parties perspectivement égales, il suffit de joindre les extrémités A' et B' avec un point quelconque f de la ligne d’horizon, par les droites /A'a,/B'6, puis de diviser l’intervalle ab en trois parties égales géométralement; alors les lignes de jonction fa,fe,fg,fb, diviseront A'B' de la manière demandée. En effet, ces lignes sont les perspectives de droites parallèles entre elles, également écartées les unes des autres, puisqu’elles interceptent sur le tableau des intervalles ae, eg, gb, égaux entre eux; donc ces parallèles diviseraient bien AB en trois parties égales et ces parties ont évidemment pour perspectives A'E', E'G', G' B'.

507. (Pl. \S,Jig. 3.) Étant donnée une perspective T' F qui fuit au point quelconque F de la ligne d’horizon, et dont T' est la trace sur le tableau, i° trouver sur cette droite, à partir du tableau, une distance T'A' égale à i mètre; 2° à partir d’un point donné A', trouver une longueur A'B' de 3 mètres ; 3° trouver la vraie distance de deux Doints donnés A' et B'; 4° diviser la portion donnée A'B' en n parties égales.

Après avoir rabattu le point de vue en 0', et avoir mené le rayon de fuite O'F de la droite proposée, on rabattra ce dernier suivant FO"; puis on prendra T'R' = i,n, et l’on tracera R' 0" qui fournira la distance demandée T'A'. En effet, nous savons (n° 298) que la droite originale de T'F serait projetée sur le géométral suivant une ligne TB parallèle à O'F; or si l’on prend TA = im, et qu’on décrive un arc de cercle avec ce rayon, la corde AR se trouvera parallèle (n° 269) au rayon visuel O'O"; cette corde, qui a sa trace en R', aura donc son point de fuite en 0", et sa perspective sera la ligne R'O", laquelle détermine ainsi une portion T'A', qui est bien la perspective de la longueur TA = ira.

Cela revient a dire que la figure A'T'R' est la perspective d’un triangle isocèle ATR, dont un des côtés TR conserve en perspective sa grandeur originale, attendu