CHAPITRE III. — PROBLEMES DIVERS SUR LES LIGNES DROITES. lo

quand on relève le triangle DPF' dans le plan principal (n° 278) où il était d’abord. Par conséquent, la droite demandée aura pour perspective R'F', et elle percera le tableau en T' sur la verticale élevée par le point T.

525. Etant donnée la perspective A' B' d’une droite située dans le plan fuyant TP, i° trouver les traces de celte droite et son point de fuite ; 2° trouver une longueur A' M' perspectivement égale à i mètre ; 3° diviser la portion donnée A' B' en n parties égales.

D’abord, la droite originale ne pouvant rencontrer le plan géo métrai que sur la ligne TP, sa trace horizontale sera perspectivement en B', et sa trace verticale en T' sur la verticale TT', puisque c’est là l’intersection du tableau avec le plan fuyant TP où est située la droite originale. Quant au point de fuite, il serait donné par un rayon visuel parallèle à A' B'; or ce rayon aboutirait sur la même verticale que le rayon visuel qui serait mené parallèlement à la trace TP, et qui vient évidemment percer le tableau au point P; donc c’est sur la verticale PZ que sera le point de fuite demandé, et comme il doit se trouver aussi sur A' B' prolongée, il sera à la rencontre F' de ces deux lignes.

524. Maintenant pour trouver, à partir du point donné A', une longueur A' M' qui soit perspectivement égale à i mètre, je conçois la droite originale de A'B', rabattue autour du point B' sur sa projection IV P; dans ce mouvement, les points A' et M' (dont le dernier est inconnu) vont décrire deux ares de cercle dont les cordes seront parallèles, et il s’agit de trouver le point de fuite de ces cordes. Or, si je conçois deux rayons visuels, l’un parallèle à A'B', l’autre à IV P, ces rayons, qui iraient percer le tableau évidemment en F' et P, deviendront DF' et DP quand je les rabattrai autour de PZ; et alors F' L sera le rabattement d’une corde qui, dans l’espace, se trouverait bien parallèle aux cordes précédentes; donc, en tirant DF" parallèle à F' L, le point F" sera le point de fuite cherché. D’après cela, A' F" représente la corde de l’arc décrit par le point A', et cette droite me fait connaître le rabattement A" du point A'; puis, si je cherche une longueur A"M" qui soit égale à i mètre perspectif (en tirant DA"G, GH= ilu, et puis DH, comme au n° 504), je n’aurai plus qu’à relever le point M" par un arc de cercle dont la corde, qui sera représentée évidemment parF"M", ira déterminer le point cherché M'. En effet, les perspectives A' M' et A" M" représentent deux longueurs égales, puisque l’une est le rabattement de l’autre.

525. Enfin, pour diviser un intervalle donné A'B' en n parties respectivement égales, on pourrait, comme-ci-dessus, rabattre cette droite sur B' P, et ramener ainsi le problème à celui du n° 506; mais il suffira de projeter A' B' suivant ab, par deux verticales, et d’appliquer à la projection ab la méthode de ce n° 506; car les verticales menées par ces derniers points de division partageront A'B' de la manière demandée. En effet, il est reconnu qu’une droite et sa projection horizontale sont toujours divisées en parties proportionnelles par des verticales quelconques; et d’ailleurs on sait (n°256) que ces dernières lignes doivent rester verticales en perspective.

526. [Pl. \r),fig. io.) Etant donné un plan fuyant dont la trace horizontale a

Stéréotomie Leroy, 1 4

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MVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE

une perspective R' F qui n aboutit pas en P , mener dans ce plan , et par le point R', une droite qui soit, inclinée sur l’horizon de la quantité angulaire u.

Concevons deux rayons visuels, l’un parallèle a l’horizontale R' F, et qui aboutira nécessairement en F sur le tableau; l’autre parallèle à la droite cherchée, et qui devra aboutir sur la verticale FF', au point inconnu F', qui sera le point de fuite dont nous avons besoin. Ces deux rayons comprennent un angle égal à w, et celui qui aboutit en F est évidemment l’hypoténuse d’un triangle rectangle ayant pour côtés PF et la distance PD de l’œil au tableau. Si donc, après avoir construit ce triangle FPO', on ramène l’hypoténuse F' O sur la ligne d’horizon en FO"; puis, si l’on tire la droite O" F' inclinée de la quantité w, cette droite sera le rabattement du rayon visuel qui était parallèle à la droite originale, et le point de fuite de cette dernière sera en F', puisque ce point demeure immobile sur la verticale FF', quand on ramène l’angle F'0"F dans le plan de fuite (n°282) parallèle au plan fuyant R' F. Il résulte de là que R' F' est la perspective de la droite demandée, et elle percera le tableau en T' sur la verticale élevée par le point T.

527. Etant donnée la perspective A' B' d’une droite située dans le plan fuyant TF, trouver , i° les traces de cette droite et son point de fuite ; 2° une longueur A'M' perspectivement égale à i mètre; 3° diviser la portion donnée A' B en n parties égales.

La trace horizontale devant être nécessairement sur TF, sera à la rencontre R' de cette ligne avec A' B'; et la trace sur le tableau se trouvera en T', puisque la verticale TT' est l’intersection du tableau avec le plan fuyant TF qui contient la droite proposée. Quant au point de fuite, il sera donné par un rayon visuel parallèle à A' B'; or ce rayon devra aboutir sur la même verticale que le rayon visuel qui serait mené parallèlement à TF, et comme ce dernier va évidemment percer le tableau en F, c’est sur la verticale FF' que se trouvera le point de fuite demandés; donc enfin, il est placé à la rencontre F' de cette verticale avec la perspective donnée A'B'.

528. A présent, pour trouver, à partir du point donné A', une longueur A'M' qui soit perspectivement égale à i mètre, j’imagine que la droite originale de A'B' soit rabattue, autour du point R', sur sa projection R' F. .Dans ce mouvement, le point donné A' et le point inconnu M' décriront deux arcs de cercle dont les cordes seront parallèles; et il s’agit d’abord de trouver le point de fuite de ces cordes. Or, si je conçois deux rayons visuels, l’un parallèle à A'B', l’autre à R' F, ces deux rayons iront percer le tableau évidemment aux points F' et F; ils formeront donc avec la verticale FF' un triangle rectangle qui, rabattu autour de cette dernière droite, deviendra FO"F', lequel se construira en prenant la base FO" égale à l’hypoténuse FO' d’un autre triangle qui aurait pour côtés FP et PO' égal à la distance PD de l’œil au tableau. D’après cela, si l’on trace l’arc de cercle F'L et sa corde, cette dernière ramenée avec les rayons visuels O" F et 0"F' dans leur position primitive, se trouverait évidemment parallèle aux cordes des arcs décrits par les points A' et M', dans le rabattement dont nous avons parlé au commencement de cet article; donc en tirant O" F" parallèle à F'L, le point F" sera le point de fuite commun à toutes ces cordes.