LIVRE II. — PERSPECTIVE LNEA1RE

face qui lui sont perpendiculaires. Cela posé, si l’on coupe le cône par un plan YXY perpendiculaire au plan principal , et qui soit incliné de telle sorte que sa trace verticale YX fasse un angle OA'B' égal à OBA, je dis que la section A'MB' ainsi obtenue sera un cercle.

Pour le démontrer, par un point quelconque M de cette courbe, menons un plan parallèle a la base; ce plan coupera le cône suivant un cercle GMH, et la section donnée suivant une droite MQ évidemment perpendiculaire sur le plan principal OAB; de sorte que MQ sera une ordonnée commune aux deux courbes, et perpendiculaire sur les deux diamètres GH et A'B'. Alors dans le cercle GMH, on aura

(1) MQ = GQ X QH;

mais les deux triangles A' GQ etB'HQ étant semblables d’après la condition admise plus haut, que l’angle OA'B' égale OBA, on aura la proportion

GQ : B'Q : : A'Q : HQ, laquelle change l’équation (1) en celle-ci :

(2) MQ3 = A'QxB'Q.

Par là, on voit que chaque ordonnée de la section A'MB' est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre A'B' qui lui est perpendiculaire; donc cette section est un cercle. Elle est connue sous le nom de section antiparallèle, parce que le triangle OB'A' étant retourné, aurait sa base A'B' parallèle à AB.

584. (Fig. 5.) D’après cela, étant donnés un cercle AEB dont je regarde le plan comme horizontal, et un point de vue O dans l’espace, si je veux trouver un tableau tel, que ce cercle y soit représenté par un autre cercle, j’abaisserai la verticale OZ dont je joindrai le pied avec le centre C, par le diamètre CZ qui déterminera les deux arêtes OA, OB, formant la section principale du cône ; sur ces arêtes, je prendrai O a — OA, O b = OB, et je tracerai la droite ab; alors, en menant un plan VXY perpendiculaire au plan principal OAB, et dont la trace VX soit parallèle à ab, je serai certain que sur ce tableau YXY la perspective de AEB sera un autre cercle A'B', puisque les deux conditions du n° 585 seront entièrement remplies.

Réciproquement, si l’on assignait le cercle original AEB avec la position VXvY du tableau, il serait aussi facile de trouver la situation O que doit avoir le point de vue, pour que la perspective de AEB fût encore un cercle. On commencerait alors par mener, du centre G, un plan vertical CZO perpendiculaire à la trace horizontale XY du tableau donné; ensuite, on mènerait dans ce plan vertical une première droite AA' de direction arbitraire, puis une seconde droite BB' formant un angle ABB' = AA'X, et ces deux lignes AA', BB', étant prolongées jusqu’à leur rencontre O, détermineraient ainsi le point de vue demandé. Mais on voit qu’ici le problème est susceptible d’une infinité de solutions, puisque la première droite AA' a été menée sous une inclinaison arbitraire.

585. C’est sur le théorème du n° 585 qu’est fondé le genre particulier de per-