LIVRE II. — PERSPECTIVE LINEAIRE

etlet, après avoir imaginé le rayon visuel qui aboutit au sommet inférieur du méridien en question, rabattons le plan vertical de ce rayon autour du diamètre horizontal EOe de l’équateur; alors le point de vue se transportera évidemment en P : le sommet du méridien considéré se rabattra sur le cercle horizontal E pe, et à une distance eL de 3o°; donc PL sera le rabattement du rayon visuel. Or, comme il rencontre la charnière Ee au point m, qui restera immobile quand on relèvera le plan, il s’ensuit que ce point m est l’intersection du tableau avec le rayon visuel; donc m appartient à la perspective cherchée, laquelle est ainsi déterminée par les trois points P, m, p (*).

De même, pour le méridien qui fera un angle de 5o° avec l’horizon, il suffira de tirer la droite P-5o, qui déterminera le point n de la perspective P np.

Considérons maintenant un parallèle situé à 3o° de l’équateur EOe, et qui dès lors passerait par les points G et L qui appartiendront aussi a sa perspective. Si nous imaginons le rayon visuel qui aboutirait au sommet inférieur H de ce petit cercle, et que nous rabattions le plan vertical O p de ce rayon autour de l’axe des pôles P op, on doit voir que le point de vue se transportera en E, et que le sommet II se rabattra en L : donc EL sera le rabattement du rayon visuel. Or, comme ce rabattement rencontre la charnière P p en h, et que ce point restera immobile quand on relèvera le rayon visuel, il s’ensuit que h est l’intersection de ce rayon visuel avec le tableau; donc il appartient à la perspective demandée, laquelle est un arc de cercle suffisamment déterminé par les trois points G, h, L (’*).

Par ces procédés, on obtient aisément la perspective des portions de parallèles et de méridiens situés sur l’hémisphère inférieur ; quant aux moitiés supérieures de ces cercles, qui seraient représentées par les prolongements des arcsPm/;, G hL, comme elles dépasseraient le contour EPe/j, on trouve plus avantageux d’en tracer la perspective à part, en conservant le même tableau XY, mais en plaçant le point de vue à l’extrémité opposée (O, Q') du diamètre perpendiculaire à ce tableau. De sorte que sur une mappemonde , c’est la concavité de chaque hémisphère qui est présentée aux regards de l’observateur.

387. ( Fig. 7.) La projection stéréographique jouit encore de cette propriété, que deux cercles ou même deux courbes quelconques s’y coupent sous le même angle que sur la sphère; ainsi les méridiens et les parallèles qui se coupent a angles droits sur la sphère, formeront aussi des angles droits sur le tableau de perspective. En effet, soient MT et MS deux tangentes à la sphère ; leurs perspectives sur le tableau YXY perpendiculaire au rayon 01, seront les intersections M'T' et M' S' de ce tableau

(*) On détermine le centre directement: i° par les deux arêtes principales PL et P/" du cône; 20 par le théorème ci-dessus on mène Pw" perpendiculaire au plan L 1", parce que le cône circonscrit est ici un cylindre.

( **) On détermine le centre directement : i° en menant les deux arêtes principales du cône EL et EG, on a les deux extrémités h et h" du diamètre du cercle perspectif; 20 par la tangente en G au méridien, attendu qu’ils se coupent à angle droit; ou bien (théorème) le centre <•> est la perspective du sommet du cône circonscrit le long du parallèle G///, projeté sur GL.