LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE

rayon de courbure GH' = R relatif au point M'; 20 la section perpendiculaire a ce méridien et passant par la normale GM'H de la surface, laquelle section a précisément pour rayon de courbure la portion M'H = R' de cette normale. En outre, on sait (B. G., n° 698) que l’on obtiendra un hyperboloide gauche 2 osculateur de la seotie tout autour du point M', si l’on rend l’ellipse et l’hyperbole principales de 2 osculatrices des deux sections indiquées ci-dessus. Donc, si l’on désigne par 2c l’axe dirigé suivant la normale M'G, et par ia et 2 b les autres axes, il faudrait choisir leurs longueurs de manière que l’on eût les relations

mais puisque c reste arbitraire, prenons c = a, et alors l’ellipse de gorge deviendra le cercle osculateur EM'F décrit avec M'G =R, tandis que l’axe imaginaire sera b = ^R'. a = M'D qui s’obtient par une moyenne proportionnelle entre M'G et M'H, avec le soin de se représenter cet axe imaginaire, égal à M'D', comme élevé perpendiculairement au cercle de gorge par le centre G. Par là l’hyperboloïde 2 se trouvera complètement déterminé, et il sera osculateur de la seotie tout autour du point (M, M').

448. Cela posé, lorsqu’un cône est circonscrit à une surface quelconque, on sait (G. D., n° 757) que la tangente dans un point de la courbe de contact et la génératrice du cône qui aboutit à ce point, sont deux tangentes conjuguées qui jouissent de la propriété d’être respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite, parallèlement au plan tangent, dans l’ellipsoïde ou l’hyperboloïde osculateur de la surface au point considéré. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, le rayon visuel tangent à la seotie en M', et la tangente à ce point du contour apparent, seront, pour chaque position de l’œil, parallèles à deux diamètres conjugués de la section hyperbolique faite dans l’hyperboloide 2 par le plan EF perpendiculaire au cercle de gorge. Or, puisque nous cherchons un point de vue tel, que le rayon visuel et la tangente au contour apparent soient confondus ensemble, il faut évidemment choisir ce rayon visuel parallèle à l’une des asymptotes de l’hyperbole projetée verticalement sur E'F'; car, dans une telle courbe, on sait que deux diamètres conjugués qui se rapprochent de plus en plus l’un de l’autre, finissent par coïncider à la fois avec l’asymptote qui était la diagonale commune à tous les parallélogrammes formés par les divers couples de diamètres conjugués (*).

449. [PL 2$,fig. 3.) Effectuons cette construction. Les demi-axes de l’hyperbole projetée sur EF étant égaux à GF et M'D, j’imagine dans le plan tangent en M', un triangle rectangle qui ait pour base M'K' = GF et dont le second côté perpendiculaire au plan vertical en K' soit égal à M'D; alors l’hypoténuse serait

(*) On voit, par ce raisonnement, que le point singulier que nous cherchons ici n’existera jamais dans une surface convexe ; car, pour une surface de ce dernier genre, la surface osculatrice 2 du second degré serait nécessairement un ellipsoïde, dans lequel toutes les sections sont des ellipses : or, pour une telle courbe, il n’arrive jamais qua deux diamètres conjugués puissent coïncider l’un avec l’autre.