CHAPITRE I. — NOTIONS CENTRALES

de révolution, ou du second degré, il y a des méthodes plus simples, et que nous avons exposées au livre V de la Géométrie descriptive.

6. (PL i, fi g. a.) Supposons à présent qu’il existe deux points lumineux S et S' qui éclairent simultanément le corps T. Pour chacun de ces points considéré isolément, on déterminera, comme ci-dessus, les lignes de séparation d’ombre et de lumière AMBN et A'MB'N, puis les courbes d’ombre portée ambn et o'm'b'n'; ces dernières doivent avoir une tangente commune en m et m', parce que c’est l’intersection du plan YXY avec le plan tangent de la surface T en M, lequel plan touche à la fois les deux cônes circonscrits (G. D., n° 59'»). Alors on connaîtrait les parties illuminées et les parties obscures VXY, s’il était éclairé tour à tour par chacun des points S et S'; mais, attendu que la lumière vient simultanément de S et de S', cela donne lieu à de nouvelles distinctions. Un effet, tout point qui sera dans la partie aMb'Ga commune aux deux courbes, ne sera éclairé ni par le point S ni par S'; c’est donc là X ombre pure. Tout point qui se trouvera dans la partie G a' HaG ne recevra pas de lumière de S', mais il en recevra de S; au contraire, tout point situé dans la partie G//II/;G sera éclairé par S' et non par S : ces deux parties forment donc ce qu’on nomme la pénombre, où l’obscurité n’est pas complète. Enfin, les parties du plan VXY qui sont en dehors des deux courbes à la fois recevront de la lumière aussi bien du point S que du point S', sans que le corps T y mette aucun obstacle, et c’est là la portion illuminée du plan.

7. Les mêmes distinctions se représenteront sur la surface même du corps T; car on voit bien que tous les points situés entre D et les arcs MAN etlMB'N ne peuvent être éclairés ni par S, ni par S', et c’est là Y ombre pure ; la pénombre est composée des deux portions de surface MANA'M et MBNB'M, car chacune ne reçoit de lumière que d’un seul des deux points lumineux; enfin la partie illuminée du corps T est comprise entre C et les deux arcs MA' N et MBN.

8. Des circonstances semblables à celles que nous venons de discuter se reproduiraient pour trois ou un plus grand nombre de points lumineux; et lorsqu’ils forment par leur ensemble un corps de dimensions finies, on pourrait répéter pour chaque point de ce corps lumineux les constructions précédentes; puis, en cherchant Yenveloppe intérieure et Y enveloppe extérieure de toutes les courbes ambn, a’m'b'n la première déterminerait l’ombre pure, et la seconde la pénombre, qui ont lieu sur le plan VXY ; mais au lieu de cette marche très-compliquée, il est préférable d’employer la méthode suivante.

9. (Pl. 3.) Soient S le corps lumineux et T le corps opaque, qui peuvent

avoir des formes quelconques. Imaginons un plan n qui soit tangent aux deux surfaces S et T à la fois; ce plan sera susceptible d’occuper une infinité de positions, à moins que l’une de ces surfaces ne soit développable ; mais nous exclurons ici celte hypothèse particulière, attendu qu’elle ne se rencontre jamais dans les applications utiles de la théorie des ombres, et que d’ailleurs les restrictions auxquelles elle donnerait lieu sont faciles à prévoir, d’après ce que nous avons dit aux nos 428 et 429 de la Géométrie descriptive.