LIVRE I. — THÉORIE DES OMBRES

10. Nous pouvons donc faire rouler le plan n sur les surfaces S et T, de manière 'a les toucher extérieurement, c’est-à-dire en laissant ces deux surfaces toujours d’un même côté du plan mobile, et la suite des points de contact formera deux certaines courbes AB et A'B' que nous avons appris à construire (G. D., n° 425); d’ailleurs les positions successives de ce plan mobile se couperont consécutivement selon des droites qui seront les génératrices d’une surface développable 2, laquelle se trouvera circonscrite extérieurement aux deux corps S et T. Cela posé, la courbe de contact A'B' de la surface 2 avec T sera la limite de Y ombre nure sur ce dernier corps, puisque évidemment tout point situé au delà de A'B' ne pourra recevoir la lumière directe partie de quelque point que ce soit de S, tandis qu’il serait éclairé en partie s’il était situé en deçà de la ligne A'B'. De même, en cherchant les points d’intersection du plan YXY avec les diverses génératrices de la surface développable 2, on obtiendra la courbe A"B" qui enferme Y ombre pure portée par le corps T sur ce plan.

1 1 . Mais nous pouvons mener un autre plan n' qui soit tangent intérieurement aux deux surfaces S et T, c’est-à-dire qui les touche en laissant d’un côté l’une de ces surfaces, et l’autre du côté opposé; alors, en faisant rouler ce plan tangent 71' sur S et T, il donnera lieu à une seconde surface développable 2' qui se trouvera circonscrite intérieurement aux deux corps proposés, et les touchera suivant deux nouvelles courbes CD et C'D'. Or, la ligne C'D' est la limite qui sépare la pénombre d’avec la partie illuminée du corps T; car tout point situé au delà de C'D' ne sera éclairé que par une portion plus ou moins grande du disque lumineux, tandis que si ce point est en deçà de C'D', il recevra la lumière directe du disque total, c’est-àdire de toute la portion de S que peut circonscrire un cône dont le sommet serait au point considéré sur T. Enfin, l’intersection C"D" du plan VXY avec cette surface développable 2', donnera aussi la limite de la pénombre sur ce plan.

12. (Pl. 1 , fig . 3. ) Hâtons-nous d’éclaircir ces généralités, en prenant l’exemple très-simple de deux corps sphériques S et T. Ici tous les plans tangents communs à ces deux sphères, et qui les toucheront extérieurement, iront évidemment, rencontrer la ligne des centres STO en un même point 0; donc les intersections consécutives de ces plans seront des droites qui passeront toutes par ce point, et conséquemment elles fourniront, pour la surface développable 2 , un cône AOB circonscrit extérieurement aux deux sphères S, T, et qui les touchera suivant deux petits cercles projetés sur les droites AB, A'B'. De même, la seconde surface développable 2' se réduira ici au cône CO'D, circonscrit intérieurement aux deux sphères, et qui les touchera suivant deux cercles projetés sur les droites CD, C'D'. Ensuite ces deux surfaces coniques iront couper le plan VXY suivant deux courbes A" B" et C"D", lesquelles formeront les limites qui séparent l’ombre pure de la pénombre, et celle-ci de la portion illuminée sur le plan YXY ; d’ailleurs la pénombre n’offrira pas une clarté partielle qui soit uniforme, mais cette clarté augmentera progressivement à mesure que l’on s’éloignera de l’ombre pure, ainsi que nous allons le prouver en étudiant les faits seulement dans une section méridienne des deux