CHAPITRE IV. — CADRAN VERTICAL DÉCLINANT. ï 8o

nous avons fait de O'ë, on construira chaque point p de l’hyperbole qui reçoit l’ombre du point O' dans ce jour-là. Ces diverses hyperboles se nomment les courbes de déclinaison; et pour les deux équinoxes, elles se réduisent à la trace EBQ de l’équateur, laquelle se nomme V équinoxiale .

En multipliant assez ces courbes de déclinaison, et inscrivant à côté l’époque à laquelle chacune se rapporte, on voit qu’on pourra lire sur le cadran non-seulement l’heure qu’il est, mais aussi le mois et même le quantième du mois où l’on se trouve.

575. Pour que le cadran vertical soit éclairé, il faut que le soleil se trouve nonseulement au-dessus de l’horizon, mais aussi en avant du cadran: cette double condition donne donc lieu à la question suivante : Quelle est l’heure la plus éloignée de midi que pourra marquer le cadran, et à quel jour de l’année cette circonstance arrivera-t-elle ?

Soient AYB l’horizon, YZX le grand cercle qui est dans le plan du cadran, P le pôle et PY, PY', PY", divers plans horaires; soient aussi YY, Y'V', Y" V" divers parallèles à l’équateur ERQ, lequel coupe l’horizon suivant EQ. (PI. ?>i,fig. 5.) On voit alors que quand le soleil parcourra le parallèle YY, il éclairera le cadran dès le moment de son lever qui aura lieu en Y, c’est-à-dire à une époque de la journée qui répond au cercle horaire PY ; tandis que quand il parcourra le parallèle Y'V' situé plus au sud, il ne se lèvera qu’au point Y' situé sur un cercle horaire PY' qui est plus voisin de midi que PY. Il est vrai que quand le soleil décrira le parallèle Y"V", il se lèvera plus tôt, savoir au point Y" qui est dans le plan horaire PY"; mais à cet instant le soleil est derrière le plan vertical YZX du cadran, et il s’v trouve encore quand il arrive en u sur le cercle horaire PY. Donc c’est bien sur le parallèle YV que le soleil éclairera le cadran à l’heure la plus matinale, et celte heure se déduira de l’angle dièdre compris entre PY et le méridien supérieur PZA.

On verra de même que l’heure la plus tardive à laquelle le soleil cessera d’éclairer le cadran, arrivera quand cet astre se couchera au point X, lequel est sur le cercle horaire PX qui est le prolongement de PY ; de sorte que cette heure la plus tardive et l’heure la plus matinale différeront toujours entre elles de 12 heures, mais les deux phénomènes n’arriveront qu’à des époques où le soleil aura des déclinaisons contraires, quoique égales.

576. Cela posé, dans le triangle sphérique APY qui est rectangle en A, on connaît le côté AP qui égale 180° moins la latitude, et le côté AY qui égale 90° qr l’azimut du cadran; ainsi on pourra aisément calculer l’angle P et l’hypoténuse PY. Mais, pour n’employer ici que des moyens purement graphiques, on substituera au triangle APY l’angle trièdre qui a pour arêtes OA, OP, OY, et dans lequel on connaîtra deux faces avec l’angle compris qui est droit; dès lors on pourra aisément (G. D., n° 62) trouver l’angle dièdre P et la facePOY ou l’arc PY, dont on estimera la grandeur graphique en degrés et minutes, et voici l’usage que l’on fera de ces deux résultats.

Si l’on a trouvé, par exemple, P= 68°45\ on observera que le mouvement en ascension droite étant de 36o° en 24 heures, ou de i5° par chaque heure, il faut

r9° LIVRE III. — DE LA GNOMONIQUE.

diviser la valeur de P par 1 5, ce qui donne 4h35m pour la valeur en temps de l’angle horaire APY. Donc, en retranchant ce dernier nombre de i2h, il restera pour l’instant de la matinée auquel correspond le cercle horaire PY; et c’est là 1 heure la plus matinale à laquelle le cadran se trouvera éclairé, mais dans un certain jour qui reste à déterminer.

Pour ce dernier objet, il faut observer que l’arc PY = 90 ± mX qui est la déclinaison du parallèle cherché YV; donc, en retranchant 90° de la valeur qu’on aura trouvée ci-dessus pour PY, le reste indiquera la déclinaison demandée, laquelle sera australe ou boréale, selon que cette différence se trouvera positive ou négative. Ensuite, les Tables de Y Annuaire feront connaître quel est le jour de l’année où le soleil présente cette déclinaison; et il y aura évidemment deux époques où cette circonstance se reproduira.

577. {PL Sz/fig. 1.) Mais la première partie du problème actuel, qui est la plus intéressante, peut être résolue d’une manière plus simple, et sur le cadran même. En effet, puisqu’à l’heure cherchée le soleil se trouve à la fois sur l’horizon et dans le plan du cadran (n° 575), il s’ensuit que les rayons solaires qui rasent le style de la fig. \ sont horizontaux et parallèles au cadran; donc le plan horaire qui contient ces rayons devra couper le cadran suivant l’horizontale Yx, laquelle sera conséquemment la première des lignes horaires qui soient utiles pour la matinée. D’ailleurs, si l’on veut savoir à quelle heure elle répond, on la prolongera jusqu’à sa rencontre avec l’équinoxiale EQ, et en joignant ce point avec le centre m de l’équateur, on obtiendra un rayon de ce cercle qui déterminera un arc bfgx' qu’il faudra estimer en degrés, pour le traduire ensuite en temps, à raison de i5° pour chaque heure.

Pour le soir, la dernière ligne horaire qui soit utile, sera de même l’horizontale Pj; et l’on trouvera nécessairement qu’elle répond à une époque séparée de l’heure la plus matinale par un intervalle de 12 heures. Mais l’ombre n’atteindra ces deux lignes horaires extrêmes que dans des saisons différentes.

578. On trace quelquefois sur le cadran la méridienne du temps moyen, c’està-dire la courbe sur laquelle aboutirait l’ombre de l’extrémité du style au midi de chaque jour, indiqué par une horloge dont la marche serait parfaitement uniforme pendant tout le cours d’une année. Cette ligne diffère de la méridienne PBê du temps vrai, attendu que par les deux causes dont nous avons parlé au n° 550, le mouvement du soleil parallèlement à l’équateur est tantôt plus lent et tantôt plus rapide; de sorte que cet astre se trouve souvent en retard ou en avance sur une pendule bien réglée. Mais ces écarts, qui, très-peu sensibles d’un jour à l’autre, vont s’accumulant jusqu’à \l\ et 16 minutes, se calculent d’avance par les formules astronomiques; ils sont indiqués jour par jour dans la Connaissance des temps ou dans Y Annuaire du Bureau des Longitudes, et voici l’usage qu’il faut en faire.

579. Au 3 novembre, par exemple, je trouve dans Y Annuaire qu’à midi vrai il n’est que 1 ih44ra en temps moyen (’) ; j’en conclus que le midi moyen arrivera i6,d (*)

(*) Je néglige les secondes, en plus ou en moins, lesquelles d’ailleurs varient un peu d’une année à