CHAPITRE III. — DES KERCEAEX ET DES PORTES

marche n’apprendrait rien sur la tangente de la courbe plane A"M"B", au fioint B" par exemple.

628. Employons donc la méthode du plan normal ( G . D., n° 214). Pour le cylindre AMB, la normale de cette surface au point (M, M") se projette évidemment sur la droite M"s perpendiculaire à l’axe 00", et elle vient percer le plan horizontal au point £ où elle rencontre cet axe. Quant au berceau qui a pour première génératrice A"B", et pour axe la droite «£ menée à la distance 0"w égale au rayon connu de l’arc DX, la normale au point (M, M") sera projetée sur M")., et sa trace horizontale se trouvera placée au point X où elle rencontre l’axe Donc la droite sX sera la trace du plan normal à l’intersection des deux cylindres, et il suffira de lui mener une perpendiculaire WO pour avoir la tangente de la projection A"M"B".

Cette méthode semble d’abord, comme l’autre, devenir insuffisante pour le point de naissance B", attendu qu’alors le plan des deux normales se confond avec le plan horizontal, etqu'ainsi la trace du premier sur le second se trouve indéterminée. Mais si l’on dépouille le résultat obtenu pour le point quelconque M", des considérations relatives aux trois dimensions de l’espace qui ont servi à l’établir, il restera toujours démontré que la courbe plane A"M"B", indépendamment de la ligne à double courbure dont elle reçoit la projection, jouit de cette propriété : si de chaque point M", on abaisse les deux perpendiculaires M"s et M"X sur les lignes 0 w et w£, la droite cX se trouve perpendiculaire à la tangente en M". Or c’est uniquement cette propriété qu’il faut invoquer pour le point B", sans parler de la trace du plan normal en ce dernier point; on prolongera donc BB" d’une quantité égale au rayon de l’arc DX, et en joignant l’extrémité de cette distance avec le point 0", on obtiendra la droite sur laquelle la tangente au point B" doit être perpendiculaire. Nous laissons au lecteur le soin d’exécuter cette opération très-simple.

62D. [PL 36.) Panneaux de développement. Tous les voussoirs sont actuellement déterminés; mais nous ne connaissons encore la plupart de leurs faces qu’en projection, et pour appliquer le trait sur la pierre, il faut avoir leur véritable grandeur, du moins pour les douelles et les joints. Or, lesdouelles font toutes partie d’un cylindre dont la section orthogonale AMB doit, comme on l’a vu en géométrie descriptive, devenir rectiligne après le développement du cylindre. Nous allons donc rectifier cette courbe (nommée vulgairement la ligne de direction), en prenant sur la droite indéfinie ab des distances bn, nm,... égales aux longueurs des arcs BN, MN,..., ce qui s’exécute généralement au moyen d’une très-petite ouverture de compas que l’on porte sur l’arc BN autant de fois qu’il est nécessaire; puis, après avoir élevé par tous ces points de division des perpendiculaires indéfinies sur ab, nous prendrons les distances

bb' = BB', nn' — HN', mm' = GM',..., aa' = AA\

Il faudra même appliquer ce procédé aux génératrices qui partent des milieux des arcs BN, NM,..., afin de se procurer assez de points pour tracer avec une précision suffisante la courbe a!m! nb' qui sera la transformée de l’arc de tète projeté sur

21 4 LIVRE lVi — COUPE DES PIERRES.

A'M'N'B'. Semblablement, on prendra les distances

bb" = BB", /m" = HN", mm" = GM",..., aa" = AA",

et la courbe a"m" n"b" sera la transformée de l’arc de tête sur le berceau, lequel était projeté suivant A"M"N"B". 11 importe d’observer que cette courbe a" m" n" b" doit être tangente à la droite a" b" dans ses deux points extrêmes; car nous avons dit au n° 627 que la tangente au point B" de la ligne a double courbure projetée sur A M" B" était verticale , et conséquemment elle formait un angle droit avec la génératrice BB"; or cet angle devant rester constant lorsqu’on développe le cylindre (G. D., n° 162), la tangente de la ligne a" m" b” sera donc encore perpendiculaire sur la génératrice bb" .

Quant à la courbe a'm'b', sa tangente en a' formera avec a' a" le même angle que formait avec la génératrice A' A" la tangente de l’arc de tête projeté sur A'M'B'; or ce dernier angle est évidemment égal au complément de celui que nous avons trouvé rabattu suivant FCZ au n° 622.

630. Il résulte de ce qui précède que la face de douelle du voussoir MNPQR se trouve développée suivant le panneau m'n'n"m"; quant aux joints, ils sont plans et il suffit de les rabattre autour des arêtes m'm" et n'n" qui leur sont communes avec la douelle. Je prendrai donc les distances mr et np égales aux largeurs MR et NP des deux joints; puis, j’élèverai les perpendiculaires

rr* — SR', rr" = SR", pp — WP', pp" — WP",

et les droites m'r', n'p' , seront les côtés extérieurs des joints. Quant aux deux autres côtés m"r”, n"p" , comme ce sont des courbes, il faudra se procurer au moins un point entre m" et r" , entre n" et p" ; ce qui s’effectuera en appliquant le procédé ci-dessus aux milieux des joints MR, NP, lesquels ont déjà servi à trouver les projections M"R", N" P", de ces mêmes courbes.

651. 11 existe, sur notre épure, une autre courbe a! a2 ë2 b' dont voici la signification. Si le mur extérieur n’avait pas de talus, toutes les faces de tête des voussoirs seraient projetées sur la trace A'B' de ce plan vertical, ce qui dispenserait de faire les diverses constructions des nos 622, 623, 624; et quant au développement, il faudrait prendre les distances

bb' = BB', në2=Hë2, ma2— Ga,..., aa' — AA',

pour obtenir la transformée de l’arc de tête de la porte; de sorte que les panneaux de douelle s’étendraient jusqu’à cette courbe a'a2ê2 b'. Les joints devraient aussi être prolongés, car il faudrait prendre

pâ2= W<?', ry 2 = S'y, ...»

pour obtenir les côtés extérieurs êa#4, aa ya, des panneaux de ces joints.

632. On peut se procurer quelques vérifications, en observant que le plan de joint MOO" renfermait l’axe 00" du cylindre, et qu’en tournant autour de l’arête de