CHAPITRE III.— DES BERCEAUX ET DES PORTES

premier voussoir avec le mur en talus, en commençant ce voussoir par un plan D'A' perpendiculaire à A'D', que l’on prolongerait seulement dans une étendue de H à 10 centimètres. On agirait semblablement pour les autres voussoirs en P', en C',...; mais non pas au point A', parce que ce serait ici changer la baie de la porte, et altérer le cintre de face d’une manière choquante pour l’œil. Cependant, si le biais était très-considérable, il vaudrait mieux employer deux berceaux, l’un perpendiculaire à A'B', l’autre à A"B", comme on le voit indiqué dans la fi g. 10 de la /V. 35; mais alors ces deux berceaux égaux se rencontreraient en formant sur l’intrados une arête saillante et elliptique, projetée sur la droite amnb, ce qui rentrerait dans le cas d’une Voûte d’arête dont nous parlerons plus loin (n° 724) avec les détails convenables.

659. Remarque II. Nous avons admis, à la lin du n° 620, la restriction que le berceau racheté par la porte en question était simplement en maçonnerie; et en voici la raison. Dans un berceau en pierre, les divisions de l’intrados seraient formées (n°616) par des droites horizontales et des arcs de cercle verticaux; tandis que sur l’épure 36, les joints de la porte vont couper l’intrados du berceau suivant des arcs d’ellipse N"P", M"R",. . . plus ou moins obliques, qui demandent quelques précautions pour se raccorder avec les divisions précédentes. D’ailleurs, la solidité des constructions exigeant qu’une même pierre comprenne à la fois une douelle (b; la porte et une douelle du berceau, il en résultera pour chaque assise un voussoir complexe, avec des joints doubles qui se rencontreront dans l’intérieur du solide. On voit donc que l’hypotbèse d’un berceau en pierre donnera lieu à une voûte d’un nouveau genre, désignée sous le nom de Lunette, et dont nous parlerons en détail au n° 758.

Porte biaise, en Tour ronde avec talus, et rachetant une Voûte sphérique.

640. Cette tour ronde n’est autre chose qu’un mur circulaire, terminé à l’extérieur par une surface conique de révolution, et à l’intérieur par un cylindre vertical que recouvre une demi-splière, ainsi qu’on le voit dans la fig. 10 de la PI. 35, où nous avons représenté une coupe faite par un plan conduit suivant l’axe «Ç de la tour. Le talus est mesuré par l’angle YEZ que forme avec la verticale la génératrice EY du cône de révolution; et la porte qu’on veut pratiquer dans cette tour est un petit berceau en plein cintre dont la naissance se trouve dans le même plan horizontal wFE que celle de la voûte sphérique.

641. {PL 37.) Pour exécuter l’épure 37, choisissons notre plan vertical perpendiculaire à l’axe de la porte, et traçons-y le demi-cercle AMB égal à la section droite de ce petit berceau; puis, en faisant d’abord abstraction des pieds-droits, adoptons pour plan horizontal le plan de naissance, sur lequel nous marquerons l’axe 00' O" de la porte et la projection w' de l’axe vertical de la tour : ici ces deux axes ne se rencontrent pas, et c’est pourquoi la porte est dite biaise. Du point w' comme centre, et avec des rayons w'E\ w'F', assignés par la question, décrivons les deux circonférences E'A'B', F'A"B", qui représenteront les traces du cône et du cylindre sur le

MVRF. IV. — COUPE DES PIERRES

plan de naissance (la seconde de ces circonférences est aussi le grand cercle horizontal de la sphère qui recouvre le cylindre); et pour achever de définir le cône, nous marquerons sur le plan vertical l’angle ZDY formé par chaque génératrice avec la verticale, angle qui est la mesure du talus que présente le parement extérieur de la tour.

Cela posé, divisons le demi-cercle AMB en un nombre impair de parties égales, et formons les joints au moyen des plans NOO', MOO',.. . menés par l’axe du berceau, et qui sont bien normaux a la douelle : nous limiterons ces joints NP, MR,. . . à un cercle CRD concentrique avec l’intrados, et chaque voussoir sera en outre terminé par une face verticale PQ et une face horizontale RQ ( voyez n° 620). Dès lors celui de ces voussoirs qui est projeté sur MNPQR, et que nous prenons pour exemple, fera partie d’un prisme droit qui aurait ce pentagone pour base, et il eu occupera la portion comprise entre la surface conique d’une part, et la sphère de l’autre; il s’agit donc de déterminer les intersections de ces deux surfaces courbes avec les diverses faces de ce prisme.

642. Par l’arête de douelle (M, M2M') imaginons un plan horizontal; il coupera le cône suivant un cercle d’un rayon plus petit que w'E', puisque ce dernier est relatif au plan de naissance AB; mais la différence est facile à trouver. En effet, si en un point quelconque de AB on trace l’angle YDZ assigné pour le talus, et que l’on tire l’horizontale MGH, la portion GH comprise dans l’angle du talus sera évidemment la différence en question. Donc, en la retranchant de w'E', le reste «'H' sera le rayon du cercle qui, par sa rencontre avec la droite M2M', donnera la projection M' du point où cette arête de douelle va percer le parement extérieur de la tour ronde. En répétant cette construction pour toutes les arêtes de douelle, on obtiendra la projection A'M'N'B' du cintre apparent de la porte, lequel est une courbe gauche résultant de l’intersection d’un cylindre avec un cône.

Le même procédé s’applique à l’arête d’extrados qui est l’horizontale (R, R2R') où se termine le joint MR, et l’on trouvera ainsi le point R' où elle va percer le mur en talus; puis, la section de cette face de joint sera une courbe R'M'O' qui doit évidemment passer par le point 0' où la trace du cône est rencontrée par la trace du plan ROO'; et l’on pourra en trouver d’autres points intermédiaires, en répétant le même procédé pour le milieu, par exemple, du côté MR. Semblablement, on obtiendra la courbe P' N' 0' pour la section du cône par le joint NP; la face horizontale RQ coupera le cône suivant un arc de cercle R' Q' qui sera le prolongement de celui qui a servi à déterminer le point R'; et enfin la face verticale PQ produira une section hyperbolique que nous rabattrons plus tard suivant p't' q', mais qui sera projetée ici sur la droite P' Q'; de sorte que la tête du voussoir que nous considérons se trouvera complètement déterminée et projetée suivant M'N'P'Q'R'.

645. Pour construire l’autre face de tête qui est sur la sphère, coupez encore cette dernière surface par le plan horizontal conduit suivant l’arête de douelle (M, MjM'M") : la section sera un cercle d’un rayon plus petit que <o'F'; mais si, avec ce dernier rayon, vous décrivez sur le plan vertical le méridien CX de la sphère,