LIVRE IV. — COlipr DES PIERRES

faite dans le cône, à la hauteur du point T, comme on a opéré (n° 642) pour trouver les points M', R' et Q'.

646. Considérons maintenant les pieds-droits situés au-dessous du plan de naissance AB, et dont nous n’avons conservé ici qu’une faible portion représentée par la hauteur Aa. Après avoir divisé cette hauteur en plusieurs parties égales, on mènera des plans horizontaux qui formeront les lits des diverses assises ( voyez n° 591), et qui couperont la surface conique suivant des cercles dont il faudra trouver les rayons. Par exemple, pour celui qui est projeté verticalement sur a/3, on prendra la portion sy de cette droite, comprise dans le prolongement de l’angle YDZ du talus, et en l’ajoutant à w'E', on aura le rayon w'E' s' avec lequel on devra tracer la circonférence e'a'/3'. On agira de même pour les autres cercles, et l’on subdivisera ensuite chacune de ces assises en plusieurs parties, au moyen de joints verticaux dirigés suivant des méridiens ;«mais il faudra commencer par tracer ces joints sur le plan horizontal, et déduire de là leurs projections verticales, ainsi que l’indique notre épure.

Enfin, pour connaître la forme exacte du parement des pieds-droits qui est projeté sur A' a', on construira le panneau A, a, /3(, en tirant par les points a', a", a"', . . des perpendiculaires égales aux hauteurs des diverses assises, mesurées sur le plan vertical ; et la courbe a, a2 a3 A, sera un arc d’hyperbole. On agira de mêni3 pour le panneau B(§, relatif à la face verticale B' S' de l’autre pied-droit.

647. Des tangentes. Pour la courbe de tête A' M' B', sa tangente au point quelconque M' s’obtiendra en combinant le plan tangent du cylindre AMB avec celui du cône qui a pour trace horizontale le cercle E'A'B' ; et même il suffit de connaître la trace horizontale de ce dernier plan, laquelle s’obtiendra en tirant la génératrice w'M', et la prolongeant jusqu’à sa rencontre avec le cercle A' O' B'. Tout cela est si facile, que nous ne faisons que l’indiquer au lecteur.

Quant à la courbe A" MB" suivant laquelle le cylindre pénètre la sphère, on pourrait aussi trouver sa tangente au point (M, M") par la combinaison des plans tangents à ces deux surfaces; mais il sera beaucoup plus simple de recourir au plan normal (G. D., n° 214). En effet, la normale du cylindre est projetée sur la droite M"<p menée perpendiculaire à l’axe 00", et elle va percer le plan horizontal au point <p ; la normale de la sphère rencontrerait ce même plan au centre œ' ; donc w'<p est la trace du plan de ces deux normales, et dès lors la perpendiculaire abaissée du point M" sur cette trace sera la tangente demandée.

Lorsqu’il s’agit d’un des points de naissance A" ou B", la méthode des plans tangents devient insuffisante par la raison déjà citée au n° 627 ; et celle du plan normal semble offrir le même inconvénient, puisque le plan des deux normales étant alors confondu avec le plan de naissance, leur intersection reste indéterminée. Mais si l’on dépouille le résultat trouvé généralement pour le point quelconque M", des considérations relatives aux trois dimensions de l’espace qui ont servi à l’établir, il n’en restera pas moins démontré que la courbe plane A"M"B" jouit de la propriété suivante : la tangente en chaque point M" est perpendiculaire sur la droite qui