LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES

Voûte en ellipsoïde à trois axes inégaux.

713. (PI. 44-) Considérons enfin le cas général où la voûte a pour intrados un demi-ellipsoïde à trois axes inégaux, et soit ABDE l’ellipse de naissance qui renferme l’axe maximum OA = a et l’axe moyen OB = b, tandis que l’axe minimum (O, O'C') est vertical et égal à c, ce qui rend la voûte surbaissée : la fig. 2 représente une coupe verticale faite suivant OB, et la fig. 3 une coupe verticale faite suivant OA. Quant à l’extrados, nous le formerons comme au n° 703, par un ellipsoïde semblable au premier, mais ayant son centre au-dessous de 0' sur la verticale 0. Ici, pour satisfaire complètement à la condition que tous les joints soient normaux entre eux ei à l'intrados (n° 384), nous adopterons pour les deux séries d’arêtes de douelle , les lignes de courbure de l’ellipsoïde dont nous avons expliqué les propriétés aux nos 736,..., 743 de notre Géométrie descriptive. On sait qu’après avoir marqué les foyers F, F2,F3, des trois ellipses principales, il faut tracer l’ellipse et l’hyperbole auxiliaires, o& et ay, dont les axes communs sont les droites

la première se construit en prenant les longueurs 0/= OF, Of3 — 0"F3 , puis en tirant la droite A f3 et sa parallèle fa : la seconde en prenant 0/2 = 0' F2, puis en traçant la ligne B/2 et sa parallèle FS. Alors, si l’on prend un point quelconque h sur l’hyperbole «S, et que l’on trace les coordonnées AH et A 2 de ce point, elles fourniront les deux demi-axes OH et 0 2 de l’ellipse II2 qui représente la projection d’une ligne de la première courbure : de même, un point quelconque q de l’ellipse aë fournira, .par ses coordonnées, les deux demi-axes OQ et Os de l’hyperbole QM qui reçoit la projection d’une ligne de la seconde courbure.

Quanta la fig. 2, il faudra aussi tracer d’abord l’ellipse et l’hyperbole auxiliaires, a'ê' et a' y', dont les axes communs sont les droites

qui se construiront aisément, ainsi que l’indique notre épure; et alors un point quelconque t’ de l’ellipse oé ê' fournira, par ses coordonnées, les deux axes O'H' et 0' u! de l’hyperbole H' 2' suivant laquelle se projette ici une ligne de la première courbure; tandis que chaque ligne de la seconde courbe se projettera, sur ce plan, suivant une ellipse Q'M' dont les axes seront fournis par les coordonnées d’un point m! pris a volonté sur l’hyperbole auxiliaire «'y'. On sait d’ailleurs que les points (a, a!) et («, a!) sont les deux ombilics (G. D., n° 739) autour desquels l’ellipsoïde présente une courbure uniforme dans tous les sens, comme celle d’une sphère.

714. Mais, pour la question de stéréotomie, il ne faut pas tracer arbitrairement ces deux séries de lignes de courbure. On devra d’abord diviser la demi-ellipse