LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES
841 . (PI. Gi .) Quant à l’intrados, c’est une surface identique avec la précédente; mais l’hélice directrice, toujours située sur le cylindre zav, s’est abaissée dans tous ses points d’une certaine quantité constante è que nous fixerons plus tard (n° 843), et qui dépend de l’épaisseur que l’on veut donner à la voûte. Ainsi, les droites AA', BB', CC',..., seront encore les projections de diverses génératrices de l’intrados, mais cette surface sera entièrement continue et sans interruption, tandis que l’extrados n’a conservé que quelques génératrices isolées. Pour diviser l’intrados en douelles partielles, et afin que les marches se supportent mutuellement en se recouvrant d’une certaine quantité, nous adopterons pour arêtes de douelles les normales /X, mp, «v,... menées par les milieux des girons de, cb, ba,...; ainsi l’une des marches s’étendra en plan depuis BB' jusqu’à LL'. Ensuite, pour former le joint et le rendre exactement normal tout le long de l’arête de douelle LL', on devrait construire les normales de la surface gauche relatives aux divers points de cette génératrice, comme nous l’avons fait au n° 778, ce qui conduirait à un paraboloide hyperbolique (G. D., n° 393); mais ici on se contente de prendre pour ce joint le plan conduit par la génératrice LL' et par la normale de la surface au point P, milieu de cette droite.
842. Pour construire cette normale, et d’abord pour trouver le plan tangent de la douelle gauche en P, il faut former un paraboloide de raccordement (G. D., n° 381). Je mène donc au point /de l’hélice directrice une tangente qui sera projetée sur 10, et qui rencontrera un plan horizontal choisi à volonté (par exemple, à 3 hauteurs de marche au-dessous de la génératrice LL'), à une distance 10 égale à 3 girons ou 3/m; car la sous-tangente d’une hélice est toujours égale à l’abscisse curviligne du point de contact (G. D., n° 449), et celle-ci doit égaler 3 G, puisque nous avons supposé que l’ordonnée était 3 H. Ensuite, j’observe que la génératrice /LÀ de la douelle gauche étant tangente au cylindre de la développée dans un point de la verticale X, si je fais glisser cette génératrice, toujours horizontale, sur la verticale X et sur la tangente 10 de l’hélice, je formerai ainsi un paraboloide qui aura le même point directeur que la douelle, et deux plans tangents communs avec cette
de foulée, parce que c’est la seule direction pour laquelle le mouvement soit complètement régulier. En effet, les courbes abedv et ABCDW, ainsi que toutes les autres lignes équidistantes de la première, sont des développantes qui ont les mêmes normales et une développée commune uai;; mais leurs rayons de courbure correspondants diffèrent entre eux d’une quantité constante ka que j’appellerai D. Donc, si l’on considère les points a et b comme très-voisins, les arcs ctb et AB pourront être censés confondus avec les cercles osculateurs, et l’on aura
AB p - D D j BC D
—f-—- - = i - j de meme, -7— = 1 - ,•
ab p p bc p
Or, comme on a pris cd — ab et que p' est plus petit que p, on voit que BC sera moindre que AB, etqu’ainsi les arcs AB, BC, CD,... iront en diminuant avec leur rayon de courbure. Dès lors, si l’on veut monter ou descendre l’escalier sur une autre courbe que la ligne de foulée abedv , le mouvement ne sera plus uniforme, puisqu’on devra parcourir des chemins variables en plan, pour des espaces égaux dans le sens vertical; et ce défaut devient très-sensible lorsqu’on descend rapidement un escalier sur une ligne voisine de la cage.
