CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS
Tn
Pour cela, achevons le cercle A'D'B' P", et observons que le point P répondant a deux points différents P' et P" de ce cercle, il y a deux génératrices du cylindre oblique qui sont projetées sur PQ, et qui ont pour projections verticales P'Q' et P"Q"; d’où il résulte que le point de rencontre Q fournit deux points distincts Q' et Q" de la courbe cherchée. D’un autre côté, à la même projection verticale P ' p' d’un rayon lumineux correspondent deux projections différentes sur le plan horizontal, savoir PQ et pq , lesquelles fournissent deux points Q' et q' appartenant encore «à la courbe d’intersection; donc cette ligne est enlin représentée sur le plan vertical par
La première de ces deux méthodes revient à couper les deux cylindres par des plans verticaux PQ, EN,... qui sont parallèles à la fois aux génératrices des deux surfaces, suivant la règle donnée en Géométrie descriptive; et l’on trouverait semblablement une seconde branche d’intersection, aussi fermée, si l’on achevait le cercle AGB qui sert de base au cylindre de la niche: mais cette dernière branche n’a aucun rapport immédiat avec le problème d’ombre qui nous occupe.
58. [PL 4.) Ombre sur la sphère. Gette ombre est produite par l’intersection de la sphère avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui rasent l’arc de tête (A'D'B', AB); si donc nous coupons ces deux surfaces par des plans E'O', G'H',... qui soient parallèles au rayon de lumière et en même temps perpendiculaires au plan vertical (lequel est ici le plan de tête AB), nous n’aurons à combiner entre elles que des sections rectilignes et circulaires. Or le premier E'O' de ces plans sécants coupe la sphère suivant un grand cercle que, pour plus de clarté, nous transporterons parallèlement à lui-même, jusqu’à ce que son diamètre E'O'e' ait pris la position E"0"e"; si donc nous désignons ce plan ainsi transporté sur la fig. 3, sous le nom de plan auxiliaire de projection, et que nous le rabattions autour de sa ligne de terre E"e", le demi-cercle situé dans l’hémisphère postérieur deviendra E"V"e". D’ailleurs ce plan sécant E' O' renfermait le rayon lumineux (E'O', ES) dont il est facile de retrouver la position sur le plan auxiliaire rabattu; car ce rayon était l’hypoténuse d’un triangle rectangle qui avait pour côtés E'O' et l’horizontale (OS, O') ; donc si l’on prend sur la perpendiculaire à E"0" une distance O" S" égale à OS, la droite E"S" sera le rabattement du rayon lumineux.
59. Gela posé, le rayon lumineux E"S" et le grand cercle E"V"e" se trouvant tous deux dans le même plan sécant E'O', ne pourront manquer de se couper en un point qui sera celui où ce rayon va percer la sphère; or, comme ce point est évidemment projeté en F" sur le plan auxiliaire, on en déduira sa projection F' sur le plan vertical primitif, au moyen d’une perpendiculaire F" F' à la ligne de terre E" e" relative à ces deux plans.
Ensuite, un autre plan sécant G'H' coupera le cylindre oblique suivant un rayon lumineux qui se projettera sur G"H" mené parallèlement à E"S"; ce même plan coupera la sphère suivant un petit cercle projeté sur la circonférence décrite avec 0"G" pour rayon; donc le point de section H" de ces deux lignes, étant ramené
