LIVRE I. — THEORIE DES OS1RRF.S

sur le plan vertical primitif, fournira un nouveau point H' de la ligne d’ombre cherchée, laquelle sera enfin F'H'K'L'. Cette courbe doit évidemment passer par le point L', où le rayon lumineux projeté sur L' U' devient tangent à la sphère; et la méthode précédente, si l’on voulait l’appliquer au point L\ conduirait aussi à cette conséquence.

60. On doit apercevoir que la courbe d’ombre qui nous occupe se trouve projetée suivant une droite 0" K" H" F" sur le plan auxiliaire. En effet, si l’on considère deux points quelconques F" et H" de cette projection, on voit qu’ils appartiennent à deux triangles isocèles 0"E"F" et 0"G"H", dans lesquels les angles à la hase E" et G" sont égaux; d’où il résulte nécessairement que les deux angles au sommet E"0"F" et G"0"H" sont aussi égaux, et par suite les deux derniers côtés 0" F" et 0"H" doivent coïncider en direction. De là nous conclurons que l’ombre portée par l’arc de tête (A' D'B', AB) sur la partie sphérique de la niche est une courbe plane, laquelle ne peut être qu’un grand cercle de cette sphère, puisque sa projection 0" F" passe par le centre 0" ; par conséquent aussi la projection L'H'F'P" de cette ligne d’ombre sur l’élévation est une ellipse qui a pour grand axe le diamètre P" L'.

61 . On pouvait prévoir ces résultats d’après le théorème démontré au n° 745 de la Géométrie descriptive; car on a vu que quand la courbe d’entrée d’une sphère et d’un cylindre est plane, la courbe de sortie est aussi plane, et égale à la première ; de plus, le plan de la courbe de sortie est perpendiculaire à UN plan auxiliaire qui serait à la fois parallèle aux génératrices du cylindre et perpendiculaire à la courbe d’ entrée. Or ici le cylindre oblique des rayons lumineux a pour ligne commune avec la sphère, ou pour courbe d’entrée, le grand cercle A' D'B' ; par conséquent le théorème rappelé ci-dessus s’applique au problème actuel.

62. Si l’on veut profiter de ce théorème pour simplifier la construction de l’ombre portée sur la partie sphérique de la niche, il faudra dire immédiatement (n° 58) que l’on adopte un plan auxiliaire E'O' parallèle au rayon lumineux et perpendiculaire au cercle vertical A'D'B', qui est la courbe d’entrée, parce qu’il est certain que la courbe de sortie, ou la ligne d’ombre, se projettera sur un pareil plan suivant un diamètre. Ensuite on transportera ce plan auxiliaire parallèlement à luimême avec le grand cercle qu’il contient, et on les rabattra suivant E"V"e"; puis, comme au n° 58, on construira le rabattement E"S" du rayon lumineux, qui ira rencontrer le grand cercle au point F"; et dès lors on pourra affirmer que la courbe d’ombre est projetée latéralement suivant la droite 0"F" sans tracer aucun des petits cercles que nous avions employés au n° 59.

Maintenant, pour revenir de la projection auxiliaire 0"F" à la projection sur le plan vertical, il suffira de tracer divers rayons lumineux G'fF, I'K', .., lesquels seront projetés sur le plan auxiliaire suivant les droites G" H", I"K", . . . parallèles à E"S"; et les points H", K", ... où ces derniers rencontreront le diamètre 0"F", étant rapportés sur le plan vertical par des perpendiculaires à la ligne de terre E"e"h fourniront autant de points fl' K'. . . de la courbe cherchée L'K'H'F'P".

63. (PI. 4.) Du point de raccordement. La courbe d’ombre portée sur la sphère