CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS

par l’arc de tète (A' DR', AB) doit évidemment se terminer au point M' où elle rencontrera le cercle horizontal ( A'B', ACB), puisque ce cercle est la limite qui sépare la sphère du cylindre droit; et, par la même raison, ce point M' devra aussi appartenir à l’ombre portée déjà sur ce cylindre par le même arc de tète. De plus, en ce point commun M', les deux courbes L'H'M' etC'Q'M' devront se raccorder, c’està-dire avoir la même tangente. En effet, pour l’une ou pourl’autre de ces courbes, la tangente sera l’intersection du plan tangent au cylindre lumineux le long de la génératrice M D', avec le plan tangent de la sphère en M', ou avec le plan tangent du cylindre droit en M' ; or ces deux derniers plans sont confondus pour ce point, puisque la sphère et le cylindre droit se touchent tout le long du cercle horizontal (A' B', ACB); donc aussi les tangentes aux deux courbes ne formeront qu’une seule et même ligne droite. Ces diverses circonstances doivent faire sentir combien il est important de savoir déterminer ce point M' par une construction directe, afin que le contour de l’ombre totale n’offre pas en cet endroit une discontinuité qui choquerait l'œil ; et c’est cette recherche qui va nous occuper.

Gi. Le point (M, M') qu’il s’agit d’obtenir se trouve à la fois sur deux grands cercles de la sphère, savoir : le cercle horizontal (ACB, A'B'),etle grand cercle d’ombre portée, lequel est projeté latéralement sur la droite 0"F"; donc le point en question se trouvera placé sur le diamètre horizontal qui sera l’intersection des plans de ces deux grands cercles. Or ce diamètre inconnu, que je représente provisoirement par OR, serait déterminé si j’avais la distance BR à laquelle il va rencontrer la tangente horizontale (BR, B') ; mais- cette tangente se projette évidemment, sur le plan auxiliaire, suivant la droite B2B' perpendiculaire à la ligne de terre; d’ailleurs, le diamètre inconnu étant dans le plan de la courbe d’ombre, il a pour projection la droite 0"F" qui va rencontrer B2B'au point R"; donc la longueur B2R" est la portion cherchée de la tangente horizontale (BR, B'), car cette dernière droite était parallèle au plan auxiliaire, et a dû s’y projeter en vraie grandeur.

Ainsi, il faudra porter la longueur B, R" de B en R; puis, en tirant RO, ce diamètre coupera le cercle ACB en un point M que l’on projettera en M' sur A' B'. Dans la pratique, on pourra simplifier cette opération en l’exécutant sur le cercle A'D'B', que l’on regardera comme le rabattement du cercle horizontal (ACB, A'B') autour de le droite A'B'; mais nous n’avons pas voulu parler d’abord de ce nouveau rabattement, parce qu’il aurait rendu les raisonnements plus longs et moins faciles à saisir.

Go. 11 arrive quelquefois que le point R" se trouve à une distance très-grande et incommode; alors, pour déterminer le diamètre inconnu OR, il n’y a qu’à chercher le point Z où il rencontre l’autre tangente YZ. Or le point (V, O') se projette en V" sur le plan auxiliaire, et Y" Z" représente alors la distance cherchée; mais comme elle ne se projette pas ici en vraie grandeur, il faudra projeter le point Z" sur A'B' en Z', puis ramener ce dernier point sur YZ, et tirer le diamètre ZO qui fera connaître le point M.

GG. De la tangente. Cette droite s’obtiendrait, pour un point quelconque II',

32 MVRlï ï. — THÉORIE DES OMBRES.

par la règle générale qui consiste à combiner le plan tangent du cylindre oblique le long du rayon lumineux G'H', avec le plan tangent de la sphère au point H'; mais il sera plus simple de remplacer ce dernier plan tangent par le plan même de la ligne d’ombre que nous savons être ici une courbe plane; et c’est cette méthode que nous allons appliquer spécialement au point M' qui offre le plus d’intérêt.

Le plan de la courbe d’ombre passe par le centre O' de la sphère, et aussi par le point L' qui appartient à la courbe même; donc O' L'O" est la trace de ce plan sur le plan de tête AB que nous adoptons pour plan vertical de projection. Ensuite, le plan tangent du cylindre oblique pour le point M' doit passer par le rayon lumineux M'D' et par la tangente D'T' menée à l’arc de tête qui est la directrice de ce cylindre; donc cette tangente, qui se trouve dans le plan de tête, est précisément la trace verticale du plan tangent au cylindre oblique. Par conséquent le point T', où se couperont les deux traces O' L'O" et D'T', sera un point de l’intersection du plan tangent avec le plan de la courbe, et par suite un point de la tangente cherchée, laquelle sera donc projetée sur T'M'. Il faudra se souvenir que cette droite doit se trouver aussi tangente à la courbe C'Q'N'M', puisque nous avons prouvé (n° 65) que les deux courbes d’ombre se raccordaient au point M'.

67. Au reste, le plan tangent de la sphère pour le point (M, M') était bien aisé à obtenir, puisqu’il est évidemment vertical et a pouu traces MT et T 0 ; de sorte que cette dernière ligne doit aller couper la trace D'T' précisément au point T' déjà déterminé. Mais cette seconde méthode serait beaucoup moins simple, s’il s’agissait d’un point quelconque H'.

68. (PL 4.) Ombres du chambranle. L’arête verticale (b, b" b') est évidemment une ligne de séparation d’ombre et de lumière, puisque la face B 6 est éclairée, tandis que la face by ne l’est pas. Donc le rayon lumineux, en glissant le long de cette arête, va produire un plan vertical 66 qui coupera le parement yu du mur suivant une droite 6" 6', laquelle se terminera au point 6' où aboutit le rayon lumineux (66, b’ 6').

69. A partir de cette dernière position, le rayon lumineux va glisser le long de l’archivolte, et produira un cylindre oblique ayant pour directrice le cercle vertical (b' /' d', ab ). Donc ce cylindre ira couper le parement yu du mur suivant un cercle égal au précédent, et dont le centre («, w') se trouve en tirant une parallèle (ou, O'co') aux rayons lumineux. Ainsi, avec un rayon œ'6' égal à O' b', on décrira un arc de cercle 6'X' qu’il faudra terminer au point X' correspondant au diamètre w'X' qui sera perpendiculaire au rayon lumineux ; puis, à partir de ce point, le contour de l’ombre sera complété par la droite /'X' qui doit se trouver parallèle au rayon lumineux et tangente à la fois aux deux cercles 67' et 6'X'.

En effet, la saillie que présente l’archivolte sur le parement vxyu du mura la forme d’un petit cylindre droit dont les génératrices sont perpendiculaires au plan vertical; et c’est en glissant sur la base antérieure (b'I'd'a', ba) de ce cylindre que le rayon lumineux trace la courbe d’ombre ê'X'. Or, quand ce rayon mobile est arrivé au point /' et qu’il va percer alors le parement du mur en X', il est devenu évidem-