CHAPITRE VIII. — ESCALIER EN ROIS, DIT î COURRE RAMPANTE

leurs intersections successives, un polygone que l’on pourrait rapprocher indéfiniment d’une courbe continue, en intercalant de nouvelles droites fournies par la subdivision des intervalles bc , cd, de,... de la Jig. 8; mais les seules arêtes de marches déjà marquées suffiront ordinairement pour tracer la courbe xy, enveloppe de toutes ces droites, laquelle offrira un rebroussement en x et aura pour asymptote la dernière arête normale B 6. Cette courbe dont nous allons avoir besoin pour la génération de la surface de l’escalier, peut être nommée la developpoide de la courbe de jour, puisqu’elle remplacera la véritable développée qui nous a servi dans les escaliers en pierre des PL 61 et 62.

96λ. Cela posé, imaginons que sur le cylindre vertical qui a pour base la ligne de foulée abcd...lm, on ait tracé une hélice, c’est-à-dire une courbe dont les ordonnées verticales aient avec les abscisses comptées sur cette base, le rapport constant

^ d’une bailleur de marche avec la largeur uniforme des girons : il est vrai que

cette hélice

( iabcd . . .lm, i" A" B" . . . )

commencera ici par être rectiligne, puisqu’une portion de la base est une ligne droite; mais elle n’en jouira pas moins dans tout son cours de la propriété énoncée ci-dessus. Ensuite, concevons une droite toujours horizontale qui, en glissant sur cette hélice, reste d’abord normale au cylindre de jour ABC. . .LM, et qui, à partir de la position B b, demeure constamment tangente au cylindre vertical xy de la développoïde. Alors, cette droite mobile engendrera une surface gauche rampante (mais qui est plane jusqu’à B6), sur laquelle devront être situées toutes les arêtes saillantes des marches, déjà projetées suivant A a, Bô, Ce, Y)d, ....

D’après cela, il sera facile de marquer sur un plan vertical XY {Jig. 2) parallèle à ABC, les intersections du limon avec les faces dites marche et contre-marche, puisqu’il n’y aura qu’à tracer sur ce plan vertical des horizontales A"B', B"C\ C'D', . . . situées à des hauteurs 2H, 3H, ZjH, . . . , et à les terminer par les verticales parties des points A2, B2, C2 , D2,... de la face intérieure du limon. On doit observer ici que les points A" et B" devront tomber sur la projection de l’hélice rectiligne i"A"B". . . ; mais il n’en sera plus de même pour les points C", D ", . . . , à cause de la déviation que le balancement a produite dans les arêtes des marches (*).

966. {PL rjh’fig- 2-) La face supérieure du limon n’est autre chose que la surface gauche précédente, transportée un peu au-dessus, d’une quantité B'"ê; par conséquent cette face commence par être plane et projetée sur une droite ê«... parallèle à l’hélice rectiligne i,/A"B" : mais à partir du point ê, cette face devient

(*) Ordinairement on ajoute sur le devant de chaque giron une saillie composée de quelques moulures cylindriques, comme celles que nous avons marquées à la seconde marche ; mais pour simplifier l’encastrement de la tête de marche dans le limon, on peut ne pas prolonger cette moulure dans l’intérieur de ce limon. Au reste, il est prudent de ne pas tenir compte d’abord de cette moulure, dans la distribution primitive des marches sur le plan horizontal, afin de ne pas s’exposer à des erreurs; mais on l’ajoute ensuite sur les profils qui servent à tailler les marches.

LIVltE V. — DE EA CHARPENTE.

gauche et elle se trouve terminée par deux courbes éych..., ëy2r?2s2..., que l’on construit de la manière suivante. On observe que les génératrices de cette nouvelle surface gauche, projetées aussi sur CC2, DD,,..., seront représentées sur le plan vertical XY par des horizontales yy2 , élevées au-dessus des points C", D",...

de la quantité constante B"ë; donc il suffira de projeter sur ces horizontales les points où les droites CC2, DD2,... sont coupées par les cylindres verticaux ABCD..., A2B,C2D,.... Il faudra aussi y marquer les points de section de ces mêmes génératrices avec le cylindre moyen A3B3C3D3..., parce que nous aurons besoin tout à l’heure de la courbe moyenne éy3 s3 . . . tracée sur la face supérieure du limon.

Quant à la face inférieure, elle est identique avec l’autre, mais placée au-dessous du limon d’une quantité Bë' qu’il est bon de prendre un peu plus grande que B "ê, afin que les entailles creusées dans ce limon pour recevoir les têtes des marches, laissent assez de bois plein, en dessous, pour offrir une résistance convenable. On mènera donc par le point ë' une droite é'a' parallèle à ëa; puis, en portant sur les verticales déjà tracées, des longueurs

égales toutes à la dimension verticale éë' du limon, on pourra tracer les trois courbes latérales et moyenne de la face inférieure de cette pièce.

967. Comme il faut composer le limon de plusieurs parties réunies par des assemblages, afin d’économiser le bois, surtout dans cette partie du limon qu’on appelle échiffre e t qui est projetée sur la courbe GLM, nous placerons un assemblage en H et un autre en K : et pour le premier, nous rendrons les joints parallèles au plan qui serait normal en H à la courbe moyenne du limon. Cette courbe est l’intersection du cylindre moyen A3 B3 C3 . . . avec une surface gauche identique à celle de l’escalier, mais qu’il faut concevoir placée à égales distances des faces supérieure et inférieure du limon; par conséquent, l’hélice directrice de cette surface gauche moyenne sera la ligne

(tabed... Im, t'a' b'...).

dont la première partie est une droite parallèle à i" A" B", menée par le milieu b' de la hauteur ëë' du limon.

968. Cherchons donc le plan tangent de cette surface gauche moyenne; mais d’abord, pour trouver la projection verticale H' du point de cette surface qui est projeté en H, tirons la droite H y tangente au cylindre directeur xy\ et comme cette génératrice va rencontrer l’hélice au point h que l’on projettera en h' sur t' a! b'..., il n’y aura plus qu’à tracer l’horizontale h' H' sur laquelle on rapportera le point II en H' : on aurait pu aussi prendre simplement le milieu de la portion de verticale UH', qui se trouverait comprise entre les deux courbes moyennes des faces du limon. Maintenant, suivant la règle donnée en Géométrie descriptive (nl,s 580 et 581), il faudra recourir à un paraboloïde de raccordement dont les deux directrices seront la droite [ht,h't') et la verticale y; car ce paraboloïde aura évidemment les mêmes plans tangents que la surface gauche moyenne, tant pour le point h que