CHAPITRE II

EXEMPLES DIVERS

75. [PL 5.) Ombre sur le berceau de l’arche. Cette ombre est produite par Y arc de tête situé dans le plan vertical AC que nous choisirons pour plan auxiliaire de projection, attendu qu’il est perpendiculaire au berceau de l’arche; nous rabattrons cet arc suivant CA"; en le faisant tourner autour de son diamètre horizontal (AC, C'), et il se trouvera ainsi dans le plan de naissance C'D' qui sera ici notre plan horizontal. Dès lors il devient nécessaire de nous procurer la projection du rayon lumineux sur le plan auxiliaire AC : or, si d’un point quelconque (S, S') pris à volonté sur la ligne (CS, C'S'), on abaisse une perpendiculaire (SA, S'a') sur le plan vertical AC, le pied (A, a') de cette droite se transportera évidemment en S" lorsqu’on rabattra ce plan autour de la droite AC; donc, sur ce rabattement, la ligne CS" représente la projection auxiliaire du rayon lumineux.

Cela posé, si nous considérons sur l’arc de tête un point quelconque E" qui sera évidemment projeté en E' sur le plan vertical, et que par ce point nous menions un rayon lumineux, il sera projeté sur le plan auxiliaire suivant E"F" parallèle à CS", et verticalement suivant E'F' parallèle à C'S'; donc ce rayon ne pourra percer le berceau de l’arche que sur la génératrice horizontale projetée latéralement au point F". Or il est facile de retrouver cette génératrice sur le plan vertical, en prenant C'/' égal à la hauteur du point F" au-dessus de la naissance CA, et en tirant l’horizontale /'F'; donc le point F' où cétte génératrice /'F' va couper la projection E'F', est un point de la courbe d’ombre qu’il s’agit de tracer, et tous les autres s’obtiendront d’une manière semblable.

Lorsqu’on choisira pour point de départ du rayon lumineux le point H" où sa projection latérale H"L" est tangente à la base du berceau, ce rayon deviendra évidemment tangent à ce cylindre droit; de sorte que son point d’entrée et son point de sortie étant confondus, le point (H", H') sera le premier point de la ligne d’ombre portée sur le berceau ; et au-dessous, la portion IF'C de l’arc de tête cesse d’être une ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Au contraire, quand on considérera le rayon lumineux (A" G", A' G') parti du sommet (A", A') de l’arc de tête, on obtiendra par la méthode générale le dernier point G' de la courbe d’ombre, attendu qu’ici le cintre de l’arche est supposé terminé au sommet A"; mais si le cercle CA" était complètement achevé, il faudrait continuer les constructions générales jusqu’au point diamétralement opposé a H".

76. La courbe d’ombre qui nous occupe est nécessairement une ellipse, et conséquemment il en est de même de sa projection H'F'G'. En effet, cette courbe résulte de l’intersection du berceau de l’arche avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui s’appuient sur l’arc de tête (CA", CA), lequel se trouve ainsi la base commune de ces deux cylindres. Or, nous avons démontré au n° 718 de la Géométrie descriptive que, quand deux cylindres du second degré se coupent suivant une première courbe plane que l’on nomme courbe d'entrée, la seconde branche d’intersection, ou la courbe de sortie, est aussi plane ; donc cette dernière ne peut être ici qu’une ellipse.

D’aiueurs, comme nous avons reconnu (n° 75) que le point 11" appartenait à la

Stéréotomie Leroy. /j.