THÉORIE DE L’APPAREIL HÉLICOÏDAL

8. Constructions préliminaires. — Soient [Pi. 76, fig. 2 et 3) a'c'b' la projection verticale en vraie grandeur de la section droite d’un demi-cylindre de révolution formant l’intrados ; aa, et bb, les génératrices des naissances; ab et a, bt les traces horizontales des plans de tête.

Développons, en effectuant les constructions connues, l’intrados sur le plan horizontal à partir de la parallèle ce, à bb{ ( Pl. 76, fig. l\). Les demiellipses de tête ont pour transformées les sinusoïdes superposables B' C'A' et B', G', A', ; les tangentes à ces courbes sont, en B', B', , A', A', , perpendiculaires à la droite bbt ; les points d’inflexion des sinusoïdes sont G' et C', ; les tangentes à ces courbes en ces points font, avec la transformée C'C', de la génératrice c',cc,, des angles égaux à l’angle du biais ctcb.

Les cordes des transformées B' A' et B'( A', des courbes de tête sont des parallèles passant par les points d’inflexion. Divisons les deux cordes en un même nombre impair de parties égales : chaque point d’inflexion est le milieu d’une division (•). Dans l’appareil orthogonal, les trajectoires orthogonales aux courbes de tête et aux courbes déterminées par des plans parallèles aux têtes, auraient pour transformées des trajectoires orthogonales aux sinusoïdes transformées de ces courbes. Comme nous remplaçons les sinusoïdes par leurs cordes, qui sont parallèles, les trajectoires orthogonales deviennent des perpendiculaires à ces cordes. L’une de ces nouvelles trajectoires orthogonales est la perpendiculaire B'a menée à la corde B'A'. Généralement la droite B'a ne passe pas par un point de division de la corde B'(A'(, et on la remplace par la droite B'|3, qui joint B' au point de division j3 le plus rapproché de a, du côté de B',. Nous verrons (art. 27) l’avantage résultant de cette déviation de la trajectoire orthogonale rectiligne.

On appelle angle intraclossal naturel l’angle B', B'a et angle intradossal rectifié l’angle B', B' |3; le second angle est plus petit que le premier.

On mène les parallèles qui joignent les points de division des cordes B'A' et B', A',, à partir des points B' et /3, et on les limite à leurs intersections avec les sinusoïdes. Quand on enroule le développement sur l’intrados, les parallèles précédentes deviennent des hélices qui forment les arêtes de douelle.

( 1 ) Si l’on divisait la sinusoïde en parties égales, les arêtes de douelle ne seraient pas équidistanles, et l’on n’aurait pas l’avantage des voussoirs identiques (art. 9).

Alternes BIAISES HÉLICOÏDALES.

9. Dans l’appareil hélicoïdal, un lit est une surface gauche, engendrée par une droite qui se meut en s’appuyant sur l’hélice d’intrados et en restant normale à cette surface. Lorsque l’intrados est un cylindre de révolution, un lit est une surface de vis à filets carrés ou, plus simplement, un hélicoïde droit. Il en résulte qu’alorsdeux portions quelconques de la surface d’un lit, correspondant à deux arcs égaux d’une section droite de l’intrados, sont superposables, et par suite que les surfaces limitant les lits des voussoirs sont superposables. Cette propriété, qui n’appartient pas aux surfaces des lits quand le cylindre d’intrados est quelconque, a une importance considérable au point de vue de la taille.

Nous supposons que l’intrados appartient à un cylindre de révolution (').

10. Coupes de lit. — Les intersections des plans de tête et des surfaces hélicoïdes des lits sont nommées coupes de lit; on peut en trouver des points au moyen de plans sécants auxiliaires, perpendiculaires à l’axe du cylindre, donnant des génératrices des hélicoïdes droits (2); mais l’on n’emploie pas cette méthode, parce que les explications qui suivent fournissent un procédé plus rapide.

11. Tangentes aux coupes de lit (PL 75, fi g. i) (3). — Le plan vertical de projection étant perpendiculaire à l’axe de l’intrados, supposé en plein cintre, soit g-, g' un point de l’ellipse de tète; la transformée du point g, g1 est G', le développement ayant été fait à partir de la génératrice bbt. La tangente en g, g> à la coupe de lit est l’intersection du plan sécant ab et du plan tangent en g, g' au lit.

Cherchons d’abord la projection verticale de la trace de ce plan tangent sur le plan de front oC', contenant le centre o,o' de la demi-ellipse de tête. Le plan tangent est déterminé par la génératrice GI du lit, et par la tangente GJ en G à l’arête de douelle. Cette tangente fait, avec la génératrice GG, de l’intrados, un angle égal h b,b( 3 : elle a donc pour transformée la parallèle G'J', à bj 3. La transformée G'G't de la génératrice GG, et la droite G'J', coupent oC' en G'2 et en J' : la distance G'J' égale la sous-tangente, sur le plan de front oC, de l’arête de douelle; la projection verticale de la tangente à cette arête est la tangente g'j' en g' au cercle de rayon o'a'; celle de son intersection avec le plan de front oC' est le point /, obtenu en prenant g'j' égale à G'J'. La génératrice GI du lit, étant une droite de front du plan tangent, a pour projection sur le plan de front oC' une parallèle à la trace du plan tangent sur ce plan de front. La projection verticale g1 o' de GI est donc parallèle à celle de la trace du plan tangent; /' étant un point de la projection de cette trace, cette dernière se projette selon la parallèle j'f à g' o'. (*)

(*) Ce cylindre est seul employé en Angleterre; il est généralement préféré en France.

(2) L’étude analytique do ces courbes a été faite. Un hélicoïdo droit à axe horizontal étant donné, il est intéressant de trouver la projection, sur un plan perpendiculaire à l’axe, de l'intersection de l’hélicoïde et d’un plan vertical, oblique à l’axe.

(3) Les données de la fig. i {PI. 75) sont les mêmes que celles des /îÿ. a et 3 {PL 7(J); l'échelle est j.

De la G. — Arches biaises .

IO

ARCHES BIAISES HELICOÏDALES.

Sur le plan de front oC' , le plan de tête ah a pour trace une droite projetée verticalement suivant c' o' . Le point/', où se coupent j'f et c'o', est la projection verticale d’un point F commun au plan de tête et au plan tangent en G au lit; tlonc la droite g’ f est la projection verticale de la tangente GF en G à la coupe de lit.

12. Théorème du foyer (Pl. lro,fig. i). — Soient n le point où la perpendiculaire g' n à o' c' coupe cette droite, et l le point où g g1 coupe #'/'. Les triangles semblables g' fl et g' no' donnent

Désignant par m l’angle intradossal rectifié b, b[ S, par 0 l’angle ctob du biais, par rie rayon de l’intrados, par/? la distance of, on a

g'l = p; g’o' — r\ g'j'= G'aJ'= G'G'jj tangra; g'n = gi — ci tang0 = G'G2 tang@.

Par suite, la proportion précédente donne (i) p — rcotô tangm.

Cette égalité montre que la distance o'f sur le plan vertical, ou OF dans l’espace, est constante, quelle que soit la position du point G sur l’ellipse de tête.

D’où il résulte que les tangentes aux coupes de lit , en leurs points situés sur l’ellipse de tête, ainsi que leurs projections , passent par un point fixe, nommé foyer ( 1 ).

15. Construction simple du foyer (Pl. 75, fig. i). — Pour obtenir la tangente en b’ à la coupe délit passant par b, b', on prend, sur la tangente en b' à la demicirconférence ac'b', la longueur b'cf égale à la distance b2fi 2 entre les points où oC est coupée parié, et par i|3. La parallèle q' f' à o'b' donne le foyer f . Mais o'f égale b'q' ou b.2 132; donc, pour obtenir/', il suffit de prolonger i/3 jusqu’en |32 sur oC', et de prendre sur c'o' la distance o'f égale à b2fi2.

14. Comme on a reconnu que, d’après les données ordinaires de la pratique, près de la clef, la courbure des coupes de lit est négligeable, on remplace ces (*)

(*) Un ingénieur anglais, Watson Buck, qui a écrit, en 1839, un Ouvrage estimé sur l’appareil hélicoïdal, a signalé l’existence d’un point, qu’il appelle foyer, où concourent les cordes des coupes de lits. J. de la Gournerie a donné, en 1 85 1 , dans les Annales des Ponts et Chaussées , le véritable énoncé et deux démonstrations, l’une analytique et l’autre trigonométrique, du théorème du foyer, ainsi que la construction de l’art. 13. L’élégante démonstration de l’art. 12 est due à iM. A. Mannheim.

ARCHES BIAISES HELICOÏDALES.

courbes par leurs tangentes aux points où elles rencontrent l’ellipse de tète. Aux reins et surtout aux naissances, la courbure des coupes de lit est sensible : nous verrons (art. 54) comment on trace rapidement ces courbes.

15. Angle intradossal naturel. — L’angle intradossal naturel est égal à B,B'a (PL 76, fig. 4) ou à bC o ( PL 75, fig. \ ). En le désignant par g., on a

ou

tang/x= j-ÿ

r cot0

- nr

tangp. = - cot 0.

1(>. Il existe une autre formule donnant le foyer. Le pas des hélices arêtes de

douelle étant H, désignons par h, selon l’habitude, le pas réduit—* Les pro-