LIVRE I. — THÉORIE DES OMRRES

On peut encore trouver deux autres points sans de nouvelles opérations, pourvu qu’on choisisse un parallèle Q'q' pour lequel la tangente de la méridienne au point Q' soit parallèle à C '//; car on a vu, en géométrie descriptive, qu’il suffisait de prolonger les rayons 01 et 0 i jusqu’aux points net N où ils vont rencontrer le cercle Qq, puis de projeter ces points en n' et N'.

98. On trouve directement les deux points (D , D') et [d, d') situés sur le cercle de gorge, parce que les plans tangents parallèles au rayons lumineux étant ici verticaux, leurs points de contact seront donnés par le diamètre Dd perpendiculaire à OS. Par une raison semblable, on obtiendra les points situés sur la méridienne principale en menant des tangentes a cette méridienne qui soient parallèles à la projection O'S'.

99. Le point le plus haut de la courbe doit être évidemment dans le plan vertical OS, et il s’obtiendrait en menant à cette méridienne une tangente parallèle au rayon lumineux. Pour effectuer cette construction, on rabattra cette méridienne sur le plan vertical, et on cherchera le point a’ où la tangente est parallèle au rayon rabattu O'S"; puis, après avoir projeté ce point a' en a, on ramènera celui-ci par un arc de cercle en A, et enfin on projettera ce dernier en A' sur l’horizontale menée par le point a! . On trouvera le point le plus bas (F, F') par une construction semblable, et la courbe de séparation d’ombre et de lumière sera enfin

( ABDMEF emdb A , A' B' D' M' E' F' e' m! d' b' A! ) .

100. Observons ici que cette ligne aura quelques points (B , B'), (b, b’), (E,E'), (e,e'), où les rayons de lumière seront tangents non-seulement à la scotie, mais encore à la courbe de séparation d’ombre, comme nous le démontrerons plus loin (n° 108), en donnant une méthode graphique pour les déterminer. Mais pour ne pas faire ici une digression trop longue, nous admettrons provisoirement l’existence de ces points singuliers qui sont très-remarquables, surtout parce qu’ils produiront quatre points de rebroussement dans la courbe d’ombre portée par la scotie sur le plan horizontal.

101. Pour trouver cette ombre portée aëch<j>. . . , il suffit de prolonger les rayons lumineux qui passent par les divers points de la courbe de séparation d’ombre, et de chercher les points où ces rayons vont percer le plan horizontal. Ainsi le point (A , A') fournira le point a de l’ombre portée; le point (B , B') donnera le point de rebroussement ë ; le point (D , D') le point â ; (E , E') donnera le point de rebroussement s, et ainsi de suite. Mais cette ombre sera en partie recouverte parcelle du bandeau et de la base, que nous allons construire.

102. D’abord, les rayons lumineux qui glisseront sur le demi-cercle supérieur (L gl, L "g") produiront un cylindre oblique qui viendra couper le plan horizontal suivant un demi-cercle V"XV' dont le centre m s’obtiendra en menant un rayon de lumière parle centre (0 , 0"). Ensuite le rayon lumineux glissera le long de la verticale L'L" qui est évidemment la séparation d’ombre sur le cylindre du bandeau, et il produira ainsi une ombre rectiligne Y' Y" qui sera tangente au cercle précédent. Parvenu au point (L,L'), le rayon lumineux glissera le long du demi-cercle infé-

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rieur (LG/, L'G'), et produira encore un cylindre oblique qui coupera le plan horizontal .suivant une demi-circonférence V'XV dont le centre sera le point (S, S').

On trouvera d’une manière semblable que l’ombre portée sur le plan horizontal par le cylindre YJk'k" K" se compose de deux droites UW et. uw, et d’un demi-cercle VVYm dont le centre est donné par le rayon de lumière qui partira du point (O, O'").

105. [PL i.) Toutefois, il faut observer que le demi-cercle V'XV venant

rencontrer la courbe ê$e... au point y, cela indique que le rayon de lumière qui aboutit à ce point, s’appuie à la fois sur le cercle inférieur du bandeau et sur la sentie qu’il touche en un point p' que l’on déterminera en tirant le rayon lumineux y V; de sorte qu’à partir de cette position, l’ombre du bandeau tombera sur la scotie et y tracera une courbe p'\' ri que l’on déterminera de la manière suivante :

On coupera la scotie par un plan horizontal quelconque Q'y', ce qui donnera un cercle facile à tracer sur le plan horizontal, puisque l’on connaît son diamètre Q y; le même plan sécant coupera le cylindre oblique des rayons lumineux qui s’appuient sur le bandeau, suivant un cercle égal à celui du bandeau, et dont le centre sera à la rencontre de Q 'q' avec O'S'; alors ces deux circonférences fourniront par leurs intersections deux points de la courbe cherchée, lesquels devront être projetés sur Q ’q'. Nous n’avons pas effectué ici cette construction, par la crainte de jeter de la confusion dans l’épure ; mais nous nous sommes contenté de marquer le point ri qui correspond à p', et de construire le point le plus haut par la méthode suivante :

104. Ce point le plus haut est évidemment fourni par le rayon lumineux qui part du point [p., [ri), et qui va rencontrer la méridienne située dans le plan vertical SOp. ; par conséquent, si l’on rabat cette méridienne sur le plan vertical, et que par le point G' on mène une parallèle G' X" à O'S", le point X", où elle coupera la méridienne principale, devra être ramené par une horizontale sur la projection /jl'X', et donnera ainsi le point le plus haut X' que l’on cherchait.

Il n’est pas besoin d’observer que si l’on voulait compléter, sous le rapport géométrique, la courbe en question qui est l’intersection d’une surface de révolution avec un cylindre oblique à base circulaire, on trouverait ne ligne fermée dont tous les points se construiraient par la méthode du n° 105, et dont le point le plus bas s’obtiendrait en agissant comme nous venons d’opérer pour le point le plus haut.

lOo. Le cercle YVYw allant couper aussi la courbe ëc?e au point Ç, il s’ensuit que le rayon lumineux qui aboutit à ce point Ç s’appuie en (Z , Z') sur la base du pié— douche, et touche en même temps la scotie au point (’}, d/) ; par conséquent la portion (^ME, ij/M'E') de la séparation d’ombre et de lumière sur la scotie ira projeter son ombre sur cette surface même, suivant une courbe (EZ , E'Z') dont on pourra trouver un point intermédiaire par la construction suivante que nous ne ferons qu’indiquer au lecteur.

Par un point (M,M') on conduira un plan vertical qui soit parallèle au rayon lumineux, et l’on construira la courbe suivant laquelle ce plan coupera la scotie, ce qui sera bien facile à effectuer, puisqu’il n’y aura qu’à projeter sur le plan ver-

Stéréotomie Ij>.roy% 5

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fical les points où la trace horizontale de ce plan sécant rencontrera les divers parallèles de cette surface de révolution. Cela posé, en menant par le point (M, M') un rayon lumineux, sa projection verticale ira rencontrer la section dont nous venons de parler, en un point qui appartiendra à la courbe (EZ , E'Z').

10(î. Cette ligne d’ombre portée par la scotie sur elle-même viendra se terminer précisément au point (E , E'), parce que nous démontrerons plus loin (n° 1 13) qu’en ce point singulier le rayon lumineux a un contact du second ordre avec la scotie, ce qui indique qu’alors trois points de section de la droite avec la surface se sont réunis en un seul; or cette circonstance est évidemment celle qui doit se présenter pour l’endroit où la ligne d’intersection (EZ, E'Z') se réunira a la ligne de contact (DMF, D'M'F'). On trouvera semblablement une autre branche (ez,e'z') qui sera encore l’ombre portée par la scotie sur elle-même.

107. (Fig. i et 4-) Ce qui précède montre que l’arc (EFe,E'F'e') delà séparation de lumière devient tout à fait inutile comme ligne d’ombre; et pour expliquer ce résultat singulier, il faut observer que les rayons lumineux qui glissent sur la scotie, depuis le point (B, B') jusqu’en (E,E'), sont tangents extérieurement à cette surface; tandis que depuis le point (E,E') jusqu’en (F, F'), les rayons lumineux seraient tangents à la paroi interne de la surface, et ne peuvent pas arriver effectivement jusqu’à ces points de contact, attendu qu’ils sont interceptés par le solide opaque du piédouche qu’ils ont déjà rencontré antérieurement. Afin de bien discerner cette différence de position, le lecteur pourra construire, par la méthode du n° 105, plusieurs sections de la scotie faites par des plans verticaux parallèles aux rayons lumineux, lesquelles auront une forme analogue à celle que nous avons représentée dans la fig. 4; et il reconnaîtra qu’entre les points (B , B') et (E,E'), le rayon de lumière prend la position SM/jl, où il touche la section en M et va la couper ensuite en / x ; tandis qu’entre les points (E,E') et (F, F'), le rayon lumineux prend la position S3p.aM3 dans laquelle il coupe cette section au point f/.3 avant de la toucher au point M3. Mais il y aura une position intermédiaire S2e où le rayon lumineux se trouvera tangent à la section verticale précisément au point d’inflexion £, ce qui fera. réunir en cet endroit la branche d’intersection (EZ,E'Z') avec la ligne de séparation de lumière, comme nous l’avons dit n° 10(>; et nous aurons prouvé suffisamment que cette réunion doit avoir lieu au point (E , E'), lorsque nous aurons démontré (n° 113) qu’en ce point le rayon lumineux a un contact du second ordre avec la scotie.

Semblablement on verra que les rayons lumineux qui touchent la scotie sur l’arc (BA&, B' A' b') se trouvent tangents à la paroi supérieure, comme S.4M4, mais ne peuvent arriver effectivement jusqu’au contact, tant que le plan du cercle Coexiste comme un corps opaque qui arrête les rayons de lumière en R. Il n’est pas besoin d’avertir le lecteur que si nous avons altéré le parallélisme des rayons lumineux dans la fig. 4, c’était pour ne pas avoir à construire plusieurs sections de formes analogues, quoique non identiques.

108. (Pl. 6,Jig. 5.) Nous avons annoncé au n° 100 que la séparation d’ombre