CHAPITRE II. — EXEMPTES DIVERS

et de lumière sur la scotie présentait, en général, quatre points où les rayons lumineux étaient tangents non-seulement à cette surface, mais aussi à la courbe de séparation. Pour le démontrer, posons d’abord la question dans un ordre inverse : Etant donné un point (M, M') sur la méridienne g'h'k', trouver quelle doit être la direction du rayon lumineux passant par ce point, pour qu’il soit tangent ü la fois à la surface de révolution et a la courbe de séparation d’ombre et de lumière.

D’après les théorèmes relatifs à la courbure des surfaces (G. D., livre VIII), on sait que, dans toute surface de révolution, les sections normales de courbure maximum et de courbure minimum sont : i° la méridienne dont je construirai ici le rayon de courbure M'G == R relatif au point M'; 2° la section perpendiculaire à ce méridien et passant par la normale GM'H de la surface, laquelle section a précisément pour rayon de courbure la portion M'H = R' de cette normale. En outre, on sait (G. D ., n° G98) que l’on obtiendra un hyperboloïde gauche 2 oscillateur de la scotie tout autour de M', si l’on rend l’ellipse et l’hyperbole principales de 2 osculatrices des deux sections indiquées ci-dessus. Donc, si l’on désigne par k l’axe dirigé suivant la normale M'G, et par 2 a et 2 b les autres axes, il faudrait choisir leurs longueurs de manière que l’on eût

Mais puisque c reste arbitraire, prenons c = a, et alors l’ellipse de gorge deviendra le cercle osculateur EM' F décrit avec M'G = R, tandis que l’axe imaginaire sera b = y/ « • R' = M'D qui s’obtient par une moyenne proportionnelle entre M'G et M'H, avec le soin de se représenter cet axe égal à M'D comme élevé perpendiculairement au cercle de gorge par le centre G Par là l’byperboloïde 2 se trouve complètement déterminé, et il sera osculateur de la scotie tout autour du point (M, M').

109. Cela posé, lorsqu’un cylindre est circonscrit à une surface quelconque, on sait (G. D., n° 758) que la tangente dans un point de la courbe de contact et la génératrice du cylindre qui passe par ce point, sont deux tangentes conjuguées qui jouissent de la propriété d’être respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite, parallèlement au plan tangent, dans l’ellipsoïde ou l’hyperboloïde osculateur de la surface au point considéré. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, le rayon lumineux tangent à la scotie en M', et la tangente à ce point de la courbe de séparation d’ombre et de lumière, seront pour chaque direction assignée aux rayons lumineux, respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section hyperbolique faite dans l’byperboloïde 2 par le plan EF perpendiculaire au cercle de gorge. Or, puisque nous cherchons une direction telle, que le rayon lumineux et la tangente a la courbe de séparation viennent à coïncider, il faut évidemment choisir ce rayon lumineux parallèle à l'une des asymptotes de l’hyperbole projetée verticalement sur EF ; car, dans une telle courbe, on sait que deux diamètres conjugués qui se rapprochent de plus en plus l’un de l’autre, finissent par

1,1 Vit I' 1. - THEORIE DES OMBRES.

coïncider à la fois avec l’asymptote qui était la diagonale commune à tous les parallélogrammes formés par les divers couples de diamètres conjugués (*).

HO. Effectuons cette construction. Les demi-axes de l’hyperbole projetée sur EF étant égaux à GF et M'D, j’imagine dans le plan tangent en M' un triangle rectangle qui ait pour base M'K' = GF, et dont le second côté perpendiculaire au plan vertical en K' soit égal à M'D; alors l’hypoténuse serait bien parallèle à l’asymptote. Or la projection horizontale de ce triangle s’obtient en projetant le point K' en I et prenant 1K = M'D; donc MK sera la projection horizontale, et M'K' la projection verticale d’un rayon lumineux qui remplira la double condition d’être tangent à la scotie et tangent à la séparation d’ombre, pour le point assigné (M, M').

111. Observons ici que ce rayon lumineux (MK, M'K') se trouve tout entier sur l’hyperboloïde osculateur 2, puisqu’il coïncide évidemment avec une des génératrices de cette surface gauche ; et par conséquent ce rayon lumineux aura aussi avec la scotie un contact du second ordre, relation que nous aurons besoin d’invoquer plus loin.

112. (Pl. 6, fig. 5.) A présent, reprenons la question dans le sens primitif: Etant donnée la direction (OS, O'S') d’un système de rayons lumineux parallèles, trouver quel est le point de la surface de révolution où le rayon de lumière sera tangent a la fois à cette surface et à la courbe de séparation d’ombre.

Pour y parvenir, je prends sur la méridienne principale ghk divers points M', P', Q',... et pour chacun d’eux je détermine, comme ci-dessus, les rayons lumineux (MK, M'K'), (PR, P'R'), (QT, Q'T'),... qui rempliraient la double condition énoncée plus haut; puis je ieur mène des parallèles par le point (0, 0'), lesquelles forment un cône dont la trace horizontale est une courbe rkt facile à construire ; ensuite je fais tourner le rayon lumineux (OS, O'S') assigné par la question, autour de la verticale (0, O'Z'), ce qui tonne un second cône dont la trace horizontale est le cercle du rayon OS. Or, ce cercle allant couper en v la trace du premier cône, il en résulte que la droite (Oc, OV) est une génératrice commune aux deux cônes; et conséquemment si l’on trace la tangente N'Y' parallèle à OV, puis NV parallèle à Oc, on sera certain que le rayon lumineux (NV, N' V') jouira pour le point (N, N') de la propriété énoncée plus haut, et qu’en outre il fera avec la verticale le même angle que le rayon primitif (OS, O'S'). Alors il n’y aura plus qu’à faire tourner ce rayon (NV, N'V') autour de l’axe vertical 0, jusqu’à ce qu’il devienne parallèle à (OS, O'S') ; et le point de contact (N, N') allant se transporter en un point (B, B') tel que l’angle BO i — VN1, on sera sûr que le rayon lumineux (BW, B'W') parallèle à (OS, O'S') jouira de la double propriété d’être tangent à la scotie et tangent à la courbe de séparation d’ombre pour le point (B, B').

(*) On voit, par ce raisonnement, que le point singulier que nous cherchons ici n’existera jamais dans une surface convexe; car, pour une telle surface, la surface osculalrice 1 du second degré serait nécessairement un ellipsoïde, dans lequel toutes les sections sont des ellipses; et pour une courbe de ce genre, il n’arrive jamais que deux diamètres conjugués puissent coïncider l’un avec l’autre.