CHAPITRE II. — EXEMPLES HIVERS

second point projeté surO'Z'etoù la tangente serait aussi horizontale; mais nous n’avons pas tracé ici les arcs de la section qui aboutiraient à ce nouveau sommet, parce qu’ils seraient situés sur la nappe intérieure du tore dont le quart de rond ne fait pas partie. Quant au point N' situé sur le parallèle inférieur du tore, il s’obtiendra par la méthode générale du n° 124.

126. Le même plan d’ombre qui passe par l’arête inférieure du larmier (Dy,D "y), coupe le filet cylindrique F'F" suivant une portion d’ellipse N'ô' qui se construit par la méthode employée au n° 124, et plus simplement encore, puisque dans ce cylindre tous les parallèles sont égaux au cercle du rayon OF. D’ailleurs le sommet de cette ellipse qui serait projeté sur O'Z', se trouverait en prolongeant la verticale F'F" jusqu’à sa rencontre avec la trace D "s".

127. Le même plan d’ombre coupe encore le cavet suivant une courbe ô'p'n', et le gorgerin suivant une ellipse XV, lesquelles se construisent aussi par la méthode du n° 124; et cette ellipse devra se terminer au point (s ,s') où le gorgerin est rencontré par le dernier rayon lumineux (Ds , DV) qui s’appuie sur l’arête du larmier.

128. ( PL 8.) Séparation d'ombre sur le quart de rond. Cette courbe étant la ligne de contact de la surface de révolution décrite par E'F' avec un cylindre circonscrit et parallèle aux rayons lumineux, elle se construira par la méthode générale qui est exposée au n° 584 de la Géométrie descriptive , et que nous allons rappeler succinctement. Après avoir choisi un parallèle arbitraire K' O", et avoir tracé à la méridienne la tangente K' T' qui décrirait un cône circonscrit le long du parallèle K'O", il faudrait mener à ce cône un plan tangent qui fût parallèle au rayon lumineux : mais, pour plus de simplicité, je transporte ce cône parallèlement à luimême, jusqu’à ce que son sommet arrive au point (O , O'), et alors sa génératrice devient la droite (OY parallèle à K'T', tandis que sa base, considérée dans le plan horizontal SV, est le cercle décrit avec le rayon O^. Cela posé, comme il faut mener à ce cercle une tangente partant du point (S, S'), je décris une demi-circonférence sur OS comme diamètre, et le point m où elle coupe le cercle 0 1 étant le point de tangence, j’en conclus que l’arête de contact du plan tangent est projetée sur le rayon Om; puis, en prolongeant ce rayon jusqu’à ce qu’il coupe le parallèle OK en un point M que je projetterai en M' sur K'O", j’obtiendrai un point (M , M') delà ligne cherchée. Si l’on complétait le tore dont le quart de rond fait partie, on aurait une courbe fermée telle que

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La même méthode appliquée à d’autres parallèles fournira autant de points qu’on le désirera; mais il en est plusieurs qui s’obtiennent par une construction directe et facile.

129. Le point (y, y') situé sur l’équateur se trouve en menant le diamètre Oy perpendiculaire à OS, et projetant y en y'; car en ce point le plan tangent qui sera

Stéréotomie Leroy. (j

MVRF. I. — THEORIE DES OMBRES

vertical se trouvera bien parallèle au rayon lumineux, et c’est là le caractère distinctif de tous les points de la courbe de séparation d’ombre et de lumière.

De même, en menant à la méridienne E'F' une tangente parallèle à la projection verticale O' S', le point de contact a', que l’on projettera en a, sera un point de la courbe cherchée; car, en ce point, le plan tangent du quart de rond qui est perpendiculaire au plan vertical, se trouvera bien parallèle aux rayons lumineux.

150. Le point le plus bas (ê, ê') de la séparation de lumière, c’est-à-dire celui où la tangente est horizontale, sera nécessairement situé dans le plan vertical OS, attendu que la construction du n° 128 ferait trouver, pour chaque parallèle, deux points placés sur une corde que ce plan diviserait en deux parties égales et à angle droit; il suffira donc de mener à la méridienne contenue dans le plan vertical OS une tangente parallèle au rayon lumineux. Pour cela, rabattons cette méridienne sur le plan vertical OX, en supposant qu’elle entraîne avec elle la droite (OS , O'S') ; par là, un point quelconque (<7 , g') de celte droite se transportera en g", et OV sera le rabattement du rayon lumineux. Dès lors, il faudra conduire à la méridienne E'F' une tangente parallèle à OV', et le point de contact étant ramené dans le plan méridien OS, fournira le point (ê,S') que l’on cherchait.

151. On doit remarquer que cette courbe a'ê'M'y' rencontrera la courbe P'R'Q'N' en deux points m et n! dans lesquels le rayon lumineux sera tangent à cette dernière. En effet, par le point n', la tangente doit être l’intersection du plan de la courbe P'R'Q' qui est parallèle aux rayons lumineux, avec le plan tangent du quart de rond qui est aussi parallèle aux mêmes rayons pour tout point de la courbe a'ê'M'; donc l’intersection de ces deux plans sera une droite n' n" parallèle à la même direction.

En outre, ce rayon lumineux n'n" devra rencontrer la courbe N' 0' en un point qui appartiendra à l’ombre portée par le quart de rond sur le filet; donc ce point n" devra se trouver sur la courbe 9' s' n"... dont nous parlerons plus loin.

152. Avant de continuer la recherche des autres lignes d’ombre, il est utile d’exposer une autre méthode qui serait moins exacte pour le tracé des courbes P'R'Q'N', NV, O'p'n', XV, a'ë'M', déjà trouvées, et que nous recommandons au lecteur de construire par les moyens précédents; mais cette méthode nouvelle deviendra plus expéditive et suffisamment exacte pour les lignes d’ombre qui nous restent à trouver, attendu que ces courbes seront très— aplaties dans le sens vertical.

155. (Pl. 8.) Méthode des sections. Si nous menons un plan vertical dh qui soit parallèle au rayon de lumière, il coupera le larmier suivant la verticale d' d" et le quart de rond suivant une courbe e'k'f, qui se construit en projetant sur le plan vertical les points e, k,f, où la trace dh rencontre les divers parallèles de cette surface de révolution. Le même plan coupera le filet suivant la verticale/'/', et le cavet suivant une courbe f'gf qui se construira comme ci-dessus pour le quart de rond. Enfin, ce plan sécant coupera le gorgerin suivant la verticale h' h!', et les diverses moulures de l’astragale suivant des lignes analogues.

154. Cela posé, voici le parti que l’on tirera d’une pareille section. En menant