LIVRE I. — THÉORIE DES OMRRES

portées par la vis sur le plan horizontal, si l’on avait dessein de trouver ces ombres; mais, en outre, elle va nous servir à d’autres usages.

. La courbe (C'M'KTL', CMKIL) est l’ombre portée par l’hélice extérieure sur la face supérieure du filet, et par conséquent cette courbe est l’intersection du cylindre lumineux dont nous avons parlé au numéro précédent, avec la surface gauche engendrée par la droite A'a"0\ Pour trouver un point quelconque (M, M') de cette courbe, je construis d’abord une génératrice de cette surface gauche en menant le rayon arbitraire OB, projetant le point B en B' sur l’hélice extérieure, puis en portant sur l’axe, et à partir du niveau de B', une distance 30'" égale à la hauteur constante o 0', et tirant enfin la droite 0"'B'. Maintenant, par cette génératrice je conduis un plan parallèle aux rayons lumineux, en tirant la droite (0*V,0w) ; et la trace w/3 de ce plan allant rencontrer la trace du cylindre au point o, j’en conclus qu’il coupe ce cylindre suivant le rayon lumineux (<pF, <p' F"), lequel s’appuiera ainsi sur l’hélice extérieure au point (F, F"), et ira rencontrer la génératrice (B0,B'0"') au point (M,M') qui sera un point de la ligne d’ombre en question.

152. Le point (K, K') de cette courbe, situé dans le plan vertical SO, s’obtiendra directement parla rencontre du rayon lumineux et de la génératrice qui sont contenus l’un et l’autre dans ce plan, et dont les projections verticales E"K' et E'e' se trouvent immédiatement en projetant le point E en E' et E", et le point e en <?'.

Le point extrême (C,C') sera donné par le rayon lumineux qui aboutit au point y où se coupent les deux branches de la trace horizontale du cylindre considéré au n° 150; car ce point commun y répond a une génératrice (yCG, y'C'G') qui s’appuie nécessairement à la fois sur les deux spires AD'' et A"D". De même, le point X où se coupent encore les branches de la trace du même cylindre, indique un rayon lumineux (HLX,H'L'X') qui s’appuie aussi sur deux spires consécutives de l’hélice extérieure, et qui fournit ainsi l’autre extrémité (L,L') de la ligne d’ombre en question.

155. ( Pl. c).) Ces résultats devront être reproduits identiquement sur les divers filets de la vis, en transportant sur les mêmes verticales les points déjà obtenus, tels que C', M', K', .. .; toutefois, sur les filets voisins de la tête de la vis, apparaîtront de nouvelles lignes d’ombre qui pourront recouvrir les premières en totalité ou en partie. Ainsi, sur le filet A '"a"', il y aura une ombre ( np,n'p ') portée par l’arête horizontale (PN,P'N'), et qui sera l’intersection du plan d’ombre passant par cette droite avec la surface gauche du filet. Pour construire cette courbe, on tracera, comme au n° 151, une génératrice de la surface gauche, et par cette droite on conduira un plan parallèle au rayon lumineux; il sera bien facile de trouver le point de rencontre de ce plan avec l’horizontale (PN, P'N'), et en menant par ce point un rayon lumineux, il ira rencontrer la génératrice considérée en un point qui appartiendra à la courbe (pn,p'n'). On trouvera semblablement l’ombre [pq >p'v'q') qui est portée par la droite (PQ,P'Q'), et aussi l’ombre (qw,q'w,s) portée par la droite (QR,Q'1V). Les limites de ces diverses courbes ne peuvent