LIVRE I. — THEORIE DES OMBRES

trice, on sait (G. D., n° 621) que la droite GT sera-la trace horizontale du plan tangent à l’hélicoïde gauche pour le point (B, B').

157. Maintenant, par cette génératrice (OB, 0"B') conduisons un plan parallèle aux rayons lumineux, lequel aura évidemment pour trace «G; ce plan devra être, comme on sait, tangent a l’hélicoide dans un certain point inconnu x; mais pour trouver ce point, il suffira (G. Z)., n° 627) de prolonger wGE jusqu’à ce qu’elle rencontre en E la tangente BT, puis de tracer Ee parallèle à OB, et par le point e où elle rencontre la ligne TO, on mènera ex parallèle à BE. Par ce moyen très-simple, on obtiendra donc un point x de la projection horizontale cherchée Ma?N; et en projetant x en x' sur B' O'", on aura un point de la projection verticale M'a?' N'; d’ailleurs, comme ce procédé peut s’appliquer à toute autre génératrice, il suffit à lui seul pour construire autant de points qu’on le voudra de la séparation de lumière. Mais, attendu que cette portion de courbe est extrêmement aplatie, il serait très-avantageux de savoir déterminer directement les extrémités M et N situées sur les hélices extérieure et intérieure, parce que ces deux seuls points suffiraient ordinairement, dans la pratique, pour tracer d’une manière assez exacte la partie utile de cette ligne de contact; aussi nous allons nous occuper de la recherche de ces points extrêmes M et N.

158. [PL io.) Observons d’abord que, pour tous les points de l’hélice (ABD, A'B'D'), les divers plans tangents de l’hélicoide sont tous également inclinés sur l’axe de la vis; car la génératrice de cette surface et la tangente de l’hélice font entre elles et avec la verticale menée par le point de contact, trois angles qui restent évidemment constants pour les divers points de l’hélice considérée. D’où il suit que ces divers plans tangents sont tous parallèles à ceux qui toucheraient le cône de révolution dont le sommet serait en (O, O'"), et qui aurait pour base le cercle décrit avec la perpendiculaire OH abaissée sur la trace GHT du premier plan tangent que nous avons construit pour le point (B, B'). En outre, on doit voir que l’angle GOH compris entre la projection OB de la génératrice que contient ce plan et la projection OH de sa ligne de plus grande pente, restera aussi invariable, tant que le point de contact (B, B') du plan tangent ne sortira pas de la même hélice (ABD, A'B'D').

159. Cela posé, comme la détermination du point M revient à trouver un plan qui soit parallèle au rayon lumineux, et qui touche l’hélicoide sur l’hélice (ABD, A' B' D'), menons au cône défini ci-dessus et qui a pour base le cercle du rayon OH, un plan tangent parallèle au rayon lumineux; il devra passer par la droite (0"'w',0w), et sa trace sera la tangente «F (*), tandis que sa ligne de plus grande pente se trouvera projetée suivant OF. Or, quoique ce plan wFO soit simplement parallèle au plan langent de l’hélicoide qui répond au point limite M que nous cherchons, cela ne change rien à la projection horizontale de la ligne de plus grande pente, qui sera

(*) Nous n’avons point marqué ici cette tangente w F, pour éviter de la confusion, et parce que son point de contact F s’obtient directement par la rencontre du cercle décrit sur Ow comme diamètre; ce qui suffit pour tracer la droite OF sur laquelle se projette l’arête de contact du cône avec ce plan tangent, arête qui est évidemment la ligne de plus grande pente de ce plan.