LIVRE 1. — THEORIE DES OMBRES

lèles à ceux qui touchent le cône de révolution qui a son sommet en (O, O'") et pour base le cercle du rayon OH; et l’angle analogue à GOH sera aussi constant pour chacun d’eux, et égal a ce qu’il était pour le point (B, B'); seulement, pour le plan tangent relatif au point B2, la ligne de plus grande pente, au lieu d’être, comme OH, en deçà de OBG, se trouverait au delà, ainsi qu’on doit l’apercevoir aisément d’après la position qu’aurait le pied de la tangente à l’hélice pour le point B2. Par conséquent, après avoir mené au cône OH les deux plans tangents qui ont été conduits par le rayon lumineux (Ow, 0"'«'), et avoir déterminé leurs lignes de plus grande pente OF et O f, il faudrait porter l’arc BI en sens contraire de KM et de km, puis prolonger les rayons au delà du centre O pour obtenir les points limites P et/>; mais cela se réduit évidemment à prendre l’arc K 2p égal à KM, et l’arc 7c2 P égal à km; ou enfin, à tracer les branches PQ et pq comme symétriques de MN et mn par rapport au diamètre OC qui est perpendiculaire sur OS.

163. Cela fait, on projettera les points P et p en P' et p' , P" et p",... sur l’hélice extérieure; puis, sur l’hélice intérieure, les points Q et q devront être projetés en Q' et q' , Q" et q",... Avec ces points limites, un praticien habile pourra déjà tracer d’une manière exacte les courbes P' Q', p' q' , P"Q",... qui n’ont qu’une faible courhure dans la portion utile; au surplus, nous allons donner une méthode complète pour trouver ces courbes dans toute leur étendue sur la surface gauche indéfiniment prolongée.

164. Pour atteindre ce but, on pourrait d’abord prescrire de considérer successivement les diverses hélices situées sur l’hélicoïde, et qui ont des rayons plus petits et plus grands que OB; puis, de leur appliquer les procédés des nus 159 et 162, ce qui ferait connaître tous les points de la surface où le plan tangent est parallèle aux rayons lumineux. Mais cette marche serait assez laborieuse, et il sera bien plus simple de trouver ces points en les cherchant sur chaque génératrice de l’hélicoïde, par la méthode du n° 157 qui apprend à trouver quel est le point de contact (a?, x') d’un plan mené par une génératrice quelconque (OB, Q'"B'), parallèlement aux rayons de lumière.

Il faudra donc construire (n° 156) diverses positions de la droite mobile indéfinie (AO, A'0'A2); par chacune de ces positions on conduira un plan parallèle au rayon lumineux, et l’on déterminera (n° 157) le point de cette génératrice où ce plan est tangent à la surface, point qui pourra se trouver tantôt sur la nappe inférieure, tantôt sur la nappe supérieure; et la suite de tous ces points fournira les deux courbes indélinies

(MNOQP, M'NVQ2P2), {mnOqp, m!'n"z"...),

comme lignes de séparation d’ombre et de lumière sur les deux nappes de la première spire de l’hélicoide engendré par le mouvement de la droite (AO, A'O' A2). Les spires suivantes décrites par la ?.e, la 3e,... révolution de cette droite, offriront des séparations d’ombre identiques, lesquelles seront encore projetées horizontalement sur MNOQP et mnOqp; mais les projections verticales de ces séparations de