CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS. 5S

leurs deux projections, nous nous contenterons d’énumérer ces ombres, en indiquant les courbes d’où elles proviennent.

D’abord la courbe (ly , l'y') projettera sur le plan horizontal une ombre lr\ terminée au rayon lumineux (vyri , e'jV); puis, à partir de cette position, ce rayon glissera sur la courbe ( vp , v'p' ) et produira l’ombre yjrc dont le dernier points se trouvera évidemment sur la courbe

AKylâp.napy2d2a2 . . . ,

qui est la trace du cylindre lumineux ayant pour directrice l’hélice extérieure de la vis, trace que nous avons recommandé (n° 156) de construire d’abord.

175. Parvenu dans la position (pn ,p'n'), le rayon lumineux va glisser sur l’arc d’hélice ( pm,p'm ") et produira l’ombre rc/jt; puis, à partir decettesituation (mp,m"[j/), il montera le long de la courbe ( mn , m"n" ) et produira l’ombre [xyi2 terminée au rayon lumineux (vy ri2 , v"y"ri"); car dans cette dernière position, il aura atteint la courbe (pq ,p"q") sur laquelle il glissera depuis le point (v , v") jusqu’en (p ,/>"), ce qui donnera lieu à la courbe d’ombre r,2n2. Après cela, le rayon lumineux glissera sur l’arc d’hélice Q om,p"m'"), ce qui produira l’ombre n2p.2; et ainsi de suite pour les autres spires.

174. Dans la partie antérieure de la vis, on trouvera des circonstances analogues, mais un peu moins distinctes, à cause de la petitesse de certains arcs; c’est pourquoi nous avons commencé l’explication par l’autre partie. Ainsi, la séparation de lumière (PL, P"L') produira l’ombre LR; ensuite le rayon lumineux glissera sur l’arc d’hélice (PM , P'"M') et produira l’ombre RyX ; puis, en glissant sur l’arc (MY, M' Y'),, il donnera lieu a l’ombre À<p terminée au rayon lumineux (VY©,V'YV). Mais dans cette dernière position, ce rayon aura atteint la courbe (PQ , P'Q') sur laquelle il glissera suivant le petit arc (YP, V'P'), et produira l’ombre <pp ; puis, à partir de la position ( Pp , P'p'), il glissera sur l’arc d’hélice (PM,P'M"), en produisant l’ombre /3-y2X2; et ensuite on trouvera successivement des courbes identiques avec les précédentes.

175. (Pl. io.) Discussion. Dans l’épure actuelle, la séparation d’ombre et de lumière sur l’hélicoïde gauche est composée de deux branches séparées

(MNOQP , M'NVQ2P2) et (mnOqp , m"n"z". . . ) ,

dont chacune se prolonge indéfiniment sur les deux nappes de cet liélicoïde ; et il en sera ainsi toutes les fois que l’angle w formé par le rayon lumineux (SOw , S'O V) avec l’horizon, sera plus petit que l’angle a formé par la génératrice (AO , A'O') avec le même plan. Mais si l’angle w était plus grand que a, les deux branches ONM et O nm iraient en se rapprochant de la droite Ow, et finiraient par se réunir en un point situé à une petite distance au delà de cette droite; il en serait de même des deux autres branches supérieures OQP et Oqp, de sorte que la séparation d’ombre et de lumière deviendrait alors une courbe Jermèe. Pour justifier ces assertions, rap-