LIVRE I. — THÉORIE DES OMRRES

pelons d’abord quelques principes qui sont évidents par eux-mêmes ou par les détails précédents :

i° La pente d’un plan quelconque, c’est-à-dire l’angle qu’il fait avec l’horizon, est toujours plus grande que la pente de toute droite contenue dans ce plan; et cette dernière devient au plus égale à l’autre, quand la droite considérée est perpendiculaire à la trace horizontale du plan en question.

2° Lorsque le point de contact d’un plan tangent à l’hélicoïde gauche se meut sur une même génératrice de cette surface, en s’éloignant de l’axe vertical, la pente du plan tangent diminue depuis 90° jusqu’à ce qu’elle devienne égale à la pente a de cette génératrice, limite qu’elle n’atteindrait que si le point de contact était à l’infini. Cela deviendra évident si l’on se rappelle la manière dont nous avons construit (n° 156) le plan tangent pour le point quelconque (B, B') de la génératrice (0BG,0"'B'G'); car il en résulte que l’angle BGT est nécessairement aigu.

3° Au contraire, lorsque le point de contact du plan tangent se meut en restant sur la même hélice, la pente de ce plan (n° 158) demeure constante.

176. Cela posé, lorsque l’angle œ sera plus grand que a, il y aura sur l’héli— coule une certaine hélice (facile à déterminer et que j’appelle H) pour tous les points de laquelle les plans tangents auront une pente égale à w (’). Or si, pour trouver v cl ui de ces plans qui est parallèle au rayon lumineux, on applique à l’hélice H la méthode employée au n° 159 pour l’hélice du rayon OB, on doit apercevoir immédiatement et sans effectuer les constructions, que les deux tangentes «F et w / vont se réduire à une seule droite, attendu que le cône auxiliaire ayant actuellement une pente égale à celle du rayon lumineux (Ow,OV), sa base, qui était le cercle du rayon OH, deviendra une circonférence passant par le point « lui-même. D’où il suit que, sur l’hélice H, les deux points analogues à M et m se réduiront à un seul; et il en sera de même des points analogues à P et p.

Quant aux hélices d’un rayon plus grand que H, elles ne contiendront plus de points appartenant à la séparation d’ombre, parce qu’alors la hase du cône auxiliaire embrassera le pied w du rayon lumineux mené parle sommet; conséquence qui s’accorde avec la remarque faite plus haut (n° 175, i°), puisque les plans tangents relatifs aux points de ces hélices auront tous un z pente moindre que w, et ne sauraient dès lors renfermer aucun des rayons lumineux qui ont une inclinaison égale à or.

177. D’après ces détails, on comprend que, sur la vis de la PL 9, il devait y

(*) Pour trouver cette hélice H, après avoir tracé le rayon lumineux ûw), il faudra décrire, avec

un rayon égal à Ow, une circonférence qui sera la base d’un cône ayant son sommet en (0,0 ) et dont les arêtes auront la pente w; puis, conduire à ce cône un plan tangent passant par la généiatrice (0BG,0'"B'G'), ce qui se réduit à mener au cercle précédent une tangente partant du point G. Alors ce plan, qui aura bien une pente égale à w, devra être tangent a l’hélicoide dans un certain point de la génératrice (0BG,0"'B'G') ; donc, en cherchant ce point de contact par le procédé fort simple du n° 157, on obtiendra un point de l’hélice limite que nous avons désigné par 11, ce qui sulfit pour déterminer compté-.

tcment cette courbe. . .

On trouvera un exemple de cette détermination au n° 180, mais pour un hélicofde particulier.