CHAPITRE III. — POINTS BRILLANTS ET DÉGRADATIONS DE TEINTES
de SV=cfc' (*); et l’intensité de la lumière au point M, provenant de tout le corps T', aura pour expression l’intégrale définie
(2) L ' = k J^r ds' — k JJ y/ 1 +pri + q'* ■ dx' dy\
laquelle devra être étendue à toute la portion de la surface T' qui est visible pour le point M (a?, y, z). Pour préparer les calculs, il faudra déduire les différences partielles p' et q' de l’équation F [x', y', z') = o delà surface T'; exprimer les quantités R2 et sinaen fonction des coordonnées x, y, z pour le point M, ct;r',j', z' pour le point S, ce qui est facile d’après les formules de Y Analyse appliquée; et ensuite effectuer les intégrations en regardant x, y, z comme des constantes. Quant aux limites des deux intégrales successives, on les déduira, comme à l’ordinaire, d’une équation f(x' , y') = o qui s’obtiendra en cherchant la projection de la courbe de contact d’un cône circonscrit à T' et ayant son sommet en M, courbe que nous avons enseigné à déterminer dans Y Analyse appliquée, chap. XIY; mais on prévoit bien que les intégrations ne pourront s’effectuer que très-rarement et dans des cas trop simples pour avoir besoin d’être soumis à ces calculs; c’est pourquoi nous 11’insisterons pas davantage sur ce problème général.
2 H». Lorsque tous les rayons lumineux sont supposés parallèles, la formule (i), qui donne l’intensité de la lumière reçue, se réduit à
L = k' sin a ;
car, dans cette hypothèse, le point lumineux S est infiniment éloigné, et toutes les distances R étant sensiblement égales, le diviseur R2 devient commun à tous les éléments de la surface T : de sorte qu’il peut être compris dans la constante k'. A la vérité, nous devrions supposer en même temps R=oo; mais, pour s’exprimer exactement, il ne faut pas dire que le corps T est éclairé par un point unique, placé à l’infini : car alors la lumière que recevrait ce corps serait vraiment nulle. On doit le regarder comme éclairé par un corps T' de dimensions finies, placé à une trèsgrande distance ; et alors il faut employer la formule (2) où les facteurs constants sin a et R2 sortiront de l’intégrale, laquelle se réduira à l’aire A de la portion antérieure du corps T', et cette aire A devra avoir avec R3 un rapport fini.
217. Au reste, il vaut mieux traiter directement le cas des rayons parallèles, en considérant le faisceau cylindrique qui tombe sur l’élément MN sous un angle a; car, en appelant w l’aire de la section orthogonale de ce cylindre, laquelle sera bien proportionnelle au nombre des rayons lumineux qu’il renferme, on aura évidem-
(*) Nous ne tenons pas compte ici de l’obliquité de l’élément SV sur la droite SM, et en cela nous différons d’opinion avec les auteurs d’un Mémoire fort remarquable, inséré dans le ier cahier du Journal clc l’École Polytechnique. Ils ont en effet raisonné sur le cône MSV comme si la lumière partait de M pour tomber sur SV ; tandis que les faisceaux coniques qui ont pour base commune MN et pour sommets les divers points de SV, ne varient ni pour la grandeur ni pour le nombre, quand l’élément VS s’incline plus ou moins; seulement ces cônes se rapprochent, se superposent davantage, mais la quantité des rayons lumineux envoyée par SV à MN reste toujours la même.
