CHAPITRE m* — m MÊMfCmêMK R 086 PORTES

s'obtiendra en combinant la trace horizontale A'B' du plan en tains avec celle du plan tangent an cylindre delà porte, lequel passe par la tangente dn cercle A MB; et cela est si facile , qu'il nous a para superflu d'exécuter celte opération sur notre épure.

Quant à la courbe de tête A"M "&" sur le berceau, sa tangente au point quelconque (M, M") pourrait s'obtenir en combinant aussi le plan tangent du cylindre AMB avec le plan tangent dn berceau ; pour trouver ce dernier, il faudrait mener 1* tangente au point U de l'arc DX, prendre la distance du pied de cette tangente au point D , et rapporter cette distance snr D"D au-dessus du point D", ce qui fournirait évidemment un point de la trace horizontale du plau tangent, trace que l'on mènerait ensuite parallèle à A" D". Mais ce procédé est moins simple que le suivant, et d'ailleurs il ne s'appliquerait pas aux: points de naissance A" et B"; car, comme ici les deux plans tangents sont verticaux, et se coupent suivant une verticale qui se réduit à un point unique en se projetant sur le ptan horizontal , il en résulte que cette inarche n'apprendrait rien sur la tangente de la courbe plane À" M" B", au point B" ppr exemple*

628. Employons donc la mettait dn plan normal (G. £., n* 2I&). Pour le cylindre AMB, la normale de cette surface au point (M, M") se projette évidemment sur la droite M" e perpendiculaire à Taxe 00", et elle vient percer le plan horizontal au point s oà elle rencontre ont axe. Quant an berceau qui a pour première génératrice A 7/ B /; , et pour axe la droite *Ç menée à la distance 0"u égale au rayon connu de l'arc DX , la normale au point (M , M") sera projetée sur M" X , et sa tracé horizontale ae trouvera placée au point X où elle rencontre l'axe c»Ç. Donc la droite iX sera Im trace en plan normal à l'intareeotion des deux cylindres, et il suffira de lui mener une perpendiculaire M"fl pour avoir la tangente delà projection A"M"B*» . Cette méthode semble d'abord , connue l'autre , devenir m$uflmante pour le point de naissance B", attendu qu'alors le plan des deux normales an confond avec le plan horineatal , et qu'ainsi Im «race dn premier snr le second se trouve tmdûèrvtàiit. Main si Ton dépoaâle le résultat obtenu pour le point quelconque M", des considérations relatives aux trais dimensions de l'espace qui ont servi à l'établir, il restera toujours démontré que la courbe plane A"M"B", indépendamment de la figue à double courbure dont elle reçoit la projection, jouit de cette propriété : m deckmqme point M", an oêame tes deux perpenékutaires Al"< et M 77 X m les Ugne* Ot* al «•(, la dnoUe tX as trame perpendiculaire à la tangente en M". Or c'est uniquemont oetta (propriété qu'il £tut invoquer pour le point B% sans parler dé la trace du plan normal en ce dernier point; on protongetu donc BB" d'une quantité égale au rayon de l'arc DX, et en joignant l'extrémité de cette distance avec le point O 77 , on obtiendra la droite sur laquelle la tangente au point B f doit être perpendiculaire» ^loas laissons au lecteur Je spin d'exécuter cette opération très-simple.

,6Bfc. (f>L 36,) ,j>fimBa*c de ééeebpfêmenL Tous les voussoirs sont actuellement

226 LIVBK IV. — 000FB Mt PIBMBS.

déterminés ; mais nous ne connaissons encore la plupart de leurs faces qu'en projection, et pour appliquer le trait sur la pierre, il faut avoir leur véritable grandeur, du moins pour les douelles et les joints. Or, les douelles font toutes partie d'un cylindre dont la section orthogonale AMB doit, comme on Ta vu en Géométrie descriptive, devenir rectiligne après le développement du cylindre. Nous allons donc rectifier cette courbe (nommée vulgairement la ligne de direction) , en prenant sur la droite indéfinie ab des distances bn, nm 9 ... égales aux longueurs des arcs BN, MN,..., ce qui s'exécute généralement au moyen d'une très-petite ouverture de compas que Ton porte sur Tare BN autant de fois qu'il est nécessaire; puis, après avoir élevé par tous ces points de division des perpendiculaires indéfinies sur ab , nous prendrons les distances

*6'=BB', an'sHN', mm' = GM', ..., «a' = AA'.

Il faudra même appliquer ce procédé aux génératrices qui partent des milieux des arcs BN, NM,..., afin de se procurer assez de points pour tracer avec une précision suffisante la courbe a'm'n'V qui sera la transformée de Tare de tôte projeté sur A'M/N'B'. Semblablement, on prendra les distances

bb n =m\ mi"=HN% mm"= GMV.., ao^ÀA",

et la courbe al'm n n tt b lt sera la transformée de Tare de tête sur le berceau, lequel était projeté suivant A'^'N^B". II importe d'observer que cette courbe <fm°n n k n Ait être tangente à la droite a" V 1 dans ses deux points extrêmes ; car nous avons dit au n 9 627 que la tangente au point B" de la ligne à double courbure projetée sur A'M'B" était verticale , et conséquemment elle formait un angle droit avec la génératrice BB" ; or cet angle devant rester constant lorsqu'on développe le cylindre (G. />., n 9 162), la tangente de la ligne aTm n V sera donc encore perpendiculaire sur la génératrice bb\

Quant à la courbe al m' 6', sa tangente en al formera avec a! al 9 le même angle que formait avec la génératrice A 'A" la tangente de l'arc de tête projeté sur A'M'B'; or ce dernier angle est évidemment égal au complément de celui que noua avons trouvé rabattu suivant FCZ au n' 622*

• 630. Il résulte de ce qui précède que la face de douelle du voossoir MNPQB se trouve développée suivant le panneau ni! ni n" m"} quant aux joints, ils sont plana et il suffit de les rabattre autour des arêtes m' m" et nV qui leur sont communes avec la douelle. Je prendrai donc les distances mr et np égales aux largeurs MR et NP defr deux joints ; puis , j'élèverai les perpendiculaires

rr^SR', rr"=SR\ pp , =WF > pp // =WP /r f

et les droites mV, n'p', seront les côtés extérieurs des joints. Quant aux deux autres côtés mV, n*tf 9 comme ce sont des courbes, il faudra se procurer au

CI1APITAB m. — MB MACEAUX ET BBS PORTES, 239

moins un point entre m" et r*, entre n n et p" ; ce qui s'effectuera en appliquant le procédé ci-dessus aux milieux des joints MR , NP, lesquels ont déjà servi à trouver les projections M " R", N^F, de ces mêmes courbes.

631. Il existe, sur notre épure, une autre courbe a! a^^bf dont voici la signification. Si le mur extérieur n'avait pas de talus , toutes les faces de tête des vous* soirs seraient projetées sur la trace À 7 B' de ce plan vertical , ce qui dispenserait de faire les diverses construction? des n M 622 , 623 , 624 ; et quant au développement , il faudrait prendre les distances

A6'=BB\ n6,=H6 f m« a =Ga,..., ao / =AA / ,

pour obtenir la transformée de Tare de tête de la porte ; de sorte que les panneaux de douelle s'étendraient jusqu'à cette courbe d'à, 6, 6'. Les joints devraient aussi être prolongés , car il faudrait prendre

P a a =wa / , r Vl =s' 7 ,...,

pour obtenir les côtés extérieurs 6, 3, , « s y, , des panneaux de ces joints.

632. On peut se procurer quelques vérifications, en observant que le plan de joint MOO" renfermait l'axe 00" du cylindre, et qu'en tournant autour de l'arête de douelle (M f M'M"), il a transporté cet axe dans une position facile à retrouver sur le développement. En effet, si Ton prend mo= MO f la droite oo n représentera évidemment cette nouvelle position de Taxe du cylindre; et en prenant oo'= OO 7 , le point o' sera celui où doivent aboutir les prolongements des côtés mV et a, y, du joint supérieur MR , dans les deux hypothèses où la porte est avec talus ou sans talus. D'ailleurs le côté mV de ce même joint est un arc d'ellipse. dont le prolongement devra passer en o" et y toucher la droite a" b\ comme cela résulte évidemment de la projection R"M"0" de ce même arc. On pourra trouver des vérifications analogues pour les autres joints.

: 633. Application du trait sur la pikrrr. Pour tailler les voussoirs, par exemple celui qui est projeté sur MNPQR , on peut suivre deux méthodes différentes. La première, nommée par équarrissement ou par dérobement, suppose qu'on a d'abord taillé un prisme dmrit qui soit capable du voussoir en question; et ici j'appelle prisme tout corps dont la surface latérale est engendrée par une droite qui , en demeurant parallèle à une même direction, s'appuie sur un polygone RM^NPQ à côtés rectilignes ou curvilignes : pour ces derniers , comme M^N, la face correspondante sera cylindrique. En général , cette méthode offre plus de précision et donne des résultats plus exacts que la méthode par Inveaux dont nous parlerons ensuite ; mais la première exige ordinairement des pierres d'un plus grand volume, ce qui produit un déchet dans les matériaux ; et surtout elle oblige souvent à tailler des faces qui doivent être détruites plus tard » de sorte qu'il en résulte une perte de main-

3Ô0 UVAE IV. — COUPE BU PJJSUEB.

d'oeuvre qui est uo grave inconvénient* Toutefois, on a exagéré les défaute de cette méthode, en disant à tort qu'elle obligeait à tailler toutes les faoee d'un parai» lélipipède rectangle, tandis qu'il suffît d'employer un prisme droit, et de dresser seulement la base avec trois des faces latérales. D'ailleurs , il y a des cas où il but y recourir nécessairement, comme nous le verrons par la suite.

63fc. (PL 36 et 35 , fif. 40 Méthode par déroberueni. Imaginons un prisme droit qui ait pour base la prqjection verticale JRM^NPQ du voussoir en question (PL 36), et pour longueur la plus grande dimension P'Q'' de la projection horiaonlale : os sera le solide capable. Ainsi , après avoir choisi un bloc de pierre (Jig. 4) au moins égal à ce prisme , on dressera la base de manière qu'elle soit exactement plane (n° 593), et on y tracera le contour m, n, P, f , r, au moyen d'un panneau (voyez n° 61 à) levé sur la projection verticale MNPQH de la PL 36 : on devra avoir soin de tourner ce panneau de telle sorte que le côté MR d'un des joints coïncide, autant que possible, avec le lit de carrière m, r t R 2 , par la raison citée au n° 587. Cela posé, l'ouvrier abattra la pierre carrément le long de la droite m t r, , c'est-àdire qu'il conduira par cette droite un plan qui soit exactement perpendiculaire à la base déjà exécutée, et l'équerre lui suffira bien pour cela ; puis, sur cette face il appliquera le panneau m!t r r f, m" (fig. 3) du joint supérieur, en le plagJNt aux distances m, M t =G'M', r, R t =R'S', et par le moyen de ce paitnead il tracera le contour RjM^R, du joint véritable. Il en fera autant pour l'autre plan de joint <jui passe par la droite P t n t , et qui est d'équerre sur la base du prisse ; et il y appliquera aussi le panneau u'p'p" *" de la fig. 3 9 pour y tracer le contour P ( N, N, P, du joint inférieur.

Quant à la douelle, c'est une port*» de cylindre qui passe par la courbé w r » t et* dont lea {génératrice* sont perpendiculaires au plan de cet arc ; l'équerfe suffira donc encore pour tailler ce cylindre; ou bien, si la branche de son éqoerre n'est pas assez longue, l'ouvrier emploiera une cerôe( ¥ ) découpée suivant laéoaveaûlâ de Tare MN, et en promenant cette cerce sur les deux droites déjà tracées m, M,, a,N,, de «tanière qu'elle passe par des point de repère mitquéê ctanc à deoM à égple ifatattce de la section droite m t n t , il taillera afeéinmt cette surface cyfah 4riq*e. Entoile, û y afptiqwr* 1* paaraai te àmteUe Wi^nV de lajty. 3y lejott * dà étr***6ctité e» carte» es es tôfe, afin qu'etv appoymt nr 6e pi*MàuJb*Ûfet on- paiaee la faire coïncider parfaitement avec la surface concave M i W, N a M, î et dtaa» cet état t où tracera sur la pierre les deux courbes M, N, et M 3 N, (**).

O Oa aftel* an*, etreke o« dtrrtft*, aaa pUndié de bois minée ou uns étoffe latte, dont Wk»d eel taillé suivant le contour convexe, ou. concave d'uae courte déterminée {fig* S e*7)* et que Ton promène, comme on patron mobile, sur les diverses parties d'une face courbe qu'il s'agit <Té*4ctft<#

H H** «**♦** * <** réêttHate, m pourrait se dispenser dé constrerw toute la seconde partie (fr. 5) de l'éjmw^, t'eafrfr»dbe k» ptaaeam deadnueUeiiettoff jMilta» » ïa»*r«Ul** voulait