GHAPITM III« — MS BBB0B4UX ET DU POETES

Ceta posé, divisons le demi-cercle AMB en on nombre impair de parties égales, et formons les joints au moyen des plans NOO', M00',... menés par Taxe du ber- «au, et qai sont bien normaux à la douelle : nous limiterons ces joints NP, MR, V .. à nn cercle CRD concentrique avec l'intrados , et chaque voussoir sera en outre terminé par une face verticale PQ et une face horizontale RQ (voyez n° 620). Dès lors celui de ces voussoirs qui est projeté sur MNPQR, et que nous prenons pour exemple, fera partie (fun prisme droit qui aurait ce pentagone pour base, et il en occupera la portion comprise entre la surface conique d'une part, et la sphère de Faotre ; il s'agit donc de déterminer les intersections de ces deux surfaces courbes avec les diverses faces de ce prisme.

VfiL Par rareté de douelle (M, H 3 M 7 ) imaginons un plan horizontal; il coupera le cône suivant un cercle d'un rayon plus petit que »' E', puisque ce dernier est relatif *u plan de naissance AB ; mais la différence est facile à trouver. Eu effet , si en un point quelconque de AB on tcaoe l'angle YDZ assigné pour le talus , et qne Ton tire l'horizontale MGH, la portion Gfl comprise dans l'angle du talus serp évidemment la différence en question. Donc , en la retranchant de » E' r le reste m H' sera le rayon du cercle qui , par sa rencontre avec la droite M, M', donnera la prqjection M 7 du pohrt ou cette arête de douelle va percer le parement extérieur de la tour ronde. En répétant cette construction pour toutes les arêtes de douelle, on obtiendra la prqjection A' M' N' V du cintre apparent de la porto f lequel est une courbe gauche résultant de l'intersection d'un cylindre avec un cône*

Le même procédé a'appKque k F arête d'extrados qui est l'horizontale (R , R a R') où m termine le joint MR , et l'on trouvera ainsi le point R' oà eHe va percer le mur an tak»; puis i la section de cette face de joint sera une courbe R' M' & qui doit évidemment pa»er par le point 0' on la trace du cône est rencontrée par la toaoe du plan ROO 7 ; et l'on pourra en trouver d'autres points intermédiaires, -en répétant le même procédé pour le milieu , par exemple, du côté MR. Semr bWMement, on obtiendra la courbe PN'tf pour la section du côte par le joint NP ; la face horizontale RQ coopéra le cône suivant un arc de cercle R' Q 7 qui sera le prolongement de celui qui a servi à déterminer le point R'; et enfin la face verticale PQ produira une section hyperbolique que nous rabattrons plus tara suivant p' t f q[ 9 mais qui sera projetée ici sur la droite ï* Q'; de sorte que la tête du voussoir que noua considérons se trouvera complètement déterminée et projetée suivantM'N'P'Q'R'.

6ft3. Pour construire l'autre face de tête qui est sur la sphère , coupez encore cette dernière surface par le plan horizontal conduit suivant l'arête de douellp (M, M a M' M 7 ') : la section sera un cercle d'un rayon plus petit que a/ F'; mais si, avec ve dernier rayon , vous décrivez sur le plan vertical le méridien CX de la sphère, et que vous traciez l'horizontale Ml£, la portion IK comprise entre la méridienne et sa tangente verticale CV, étant retranchée de «' F ; , donnera évidemment

236 LIVRE IV. — COUPE DM PIftBAfiS.

le rayon o/K'du petit cercle en question. Donc, en décrivant la circonférence du rayon o>'K', elle rencontrera la droite M, M' M" au point cherché M" qui sera la projection de celui où l'arête de douelle va percer la sphère. Des opérations semblables effectuées pour les autres arêtes de douelle, fourniront la projection À"M"N // B"de la courbe suivant laquelle le cylindre de la porte va pénétrer la sphère (*).

644. Quant au joint MR, l'arête horizontale (R, R, R'R") ira percer la sphère en un point dont la projection R" se construira comme ci-dessus, en tirant l'horizontale RVX et en retranchant la partie VX du rayon «' F', pour décrire avec le reste un cercle qui coupera la droite R, R" au point cherché R"; et la section faite par le joint même sera projetée sur Tare d'ellipse R" M" 0*, dont on pourra trouver quelque point intermédiaire en appliquant la méthode précédente au milieu du côté MR. Le joint inférieur NP donnera lieu à la courbé FN" 0" ; la face horizontale RQ à Tare de cercle R" S", prolongement de celui qui a servi à trouver le point R"; et enfin, la face verticale PQ couperait la sphère suivant un arc de cercle projeté sur la droite F F prolongée. Mais comme ce dernier plan rencontrerait la sphère très-obliquement , on modifie un peu cette partie du voussoir en menant par le point (P, F) un plan méridien F S" */ : ce plan sécant réduit la projection dé la face de tête à M" N" F S" R", et donne lieu à une nouvelle face verticale F S", rabattue ici (fig. 3) suivant le triangle pqs, dans lequel le côté ps est un arc de grand cercle qui se confond avec la circonférence F' A" B" prolongée , et où la droite pq doit évidemment égaler la hauteur PQ prise sur le plan vertical.

645. (PL 37.) 11 faudra aussi , pour l'application du trait sur là pierre, connaître la forme exacte de la face latérale F Q' F, modifiée par ce qui précède. On en tracera donc le rabattement suivant le panneau rectangulaire p'p 9 <f(j (fig. 2), terminé par un arc d'hyperbole p f t f <j\ qui se construit en élevant par divers pointa F, T, Q\ de la projection horizontale, des perpendiculaires égales aux ordonnées des points P, T, Q, au-dessus de la ligne de terre AB. Toutefois , observons que si

(*) Cette projection A"M"N"B" est un arc de parabole dont le diamètre principal esUJa droite *>'*, et dont le sommet se trouve situé . par rapport au centre <*>', du même côté que Taxe 00" 5 de la porte. Eo effet, si Fou rapporte le cylindre et la sphère à -trois axes coordonnés dont un soit t»'*, le second <»'* vertical, et le troisième <*>'y perpendiculaire aux deux autres, et que l'on pose la distance u'Sssa, les équations des deux surfaces seront

or, en les retranchant, on trouve pour la projection de l'intersection,

y* = — aax + H*— r 1 — <t f .

On voit que si le biais disparaissait, c'est-à-dire que Ton eût a= o, la projection se réduirait à deux droites parallèles; ce qui. an nonce qu'alors le cylindre pénétrerait la sphère suivant deux petits cercles situés dans des plans verticaux.

CHAP1TBB UI. — DBS BttCBAUX BT BBS PORTES. 237

le point arbitraire T a été choisi au milieu de PQ , la projection T' ne sera pas le milieu de P 7 Q 7 , mais elle devra se déterminer au moyen d'une section horizontale faite dans le cône, à la hauteur du point T, comme on a opéré (n'6&2) pour trouver les points M', R' et Q 7 .

^ 646. Considérons maintenant les pieds-droits situés au-dessous du plan de nais- ^ sance AB f et dont nous n'avons conservé ici qu'une faible portion représentée par la hauteur A a. Après avoir divisé cette hauteur en plusieurs parties égales , on mènera des plans horizontaux qui formeront les lits des diverses assises (voyez n° 591), et qui couperont la surface conique suivant des cercles dont il faudra trouver les rayons. Par exemple, pour celui qui est projeté verticalement sur a/3, on prendra la portion ey de cette droite , comprise dans le prolongement de l'angle YDZ du talus, et en l'ajoutant à &/E 7 , on aura le rayon w'EV avec lequel on devra tracer la circonférence e' «' |3'. On agira de même pour les autres cercles , et l'on subdivisera ensuite chacune de ces assises en plusieurs parties , au moyen de joints verticaux dirigés suivant des méridiens ; mais il faudra commencer par tracer ces jointe sur le plan horizontal , et déduire de là leurs projections verticales f ainsi que l'indique notre épure.

Enfin , pour connaître la forme exacte du parement des pieds-droits qui est projeté sur A' *', on construira le panneau A t a, 0, , en tirant par les points <x' v a", /,,.. des perpendiculaires égales aux hauteurs des diverses assises, mesurées sur le plan vertical ; et la courbe « t «, a, A, sera un arc d'hyperbole. On agira de même pour le panneau B, 6, relatif à la face verticale B' 6' de l'autre pieddroit.

\, 647. Des tangentes. Pour la courbe de tête A 7 M 7 B 7 , sa tangente au point quel- A conque M' s'obtiendra en combinant le plan tangent du cylindre AMB avec celui du cône qui a pour trace horizontale le cercle E 7 A 7 B' ; et même il suffit de connaître la trace horizontale de ce dernier plan , laquelle s'obtiendra en tirant la génératrice <J M 7 , et la prolongeant jusqu'à sa rencontre avec le cercle A' O 7 B 7 . Tout cela est si facile, que nous ne faisons que l'indiquer au lecteur.

Quant à la courbe À" M" B" suivant laquelle le cylindre pénètre la sphère , on pourrait atfssi trouver sa tangente au point (M, M") par la combinaison des plans tangents à ces deux surfaces ; mais il sera beaucoup plus simple de recourir au plan normal (G. D. , n* 214). En effet , la normale du cylindre est projetée sur la droite M" 9 menée perpendiculaire à l'axe 00", et elle va percer le plan horizontal au point f : la normale de la sphère rencontrerait ce même plan au centre a/; donc «>' ^ est la trace du plan de ces deux normales , et dès lors la perpendiculaire abaissée du point M* sur cette trace sera la tangente demandée.

Lorsqu'il s'agit d'un des points de naissance À" ou B 77 , la méthode des plans tangents devient insuffisante par la raison déjà citée au n° 627 ; et celle du plan normal semble offrir le même inconvénient , puisque le plan des deux normales

386 UVAB IV. — OOCJPE OW PJÇAftBS»

étant alors confondu avec le plan de naissànoe, leur intersection reste indéterminée. Mais si l'on dépouille le résultat trouvé généralement pour le point quelconque M", des considérations relatives ans: trois dimensions de l'espace qui ont servi à rétablir, il n'en restera pas moins démontré que la courbe plane A" M" B" jouit de la propriété suivante : la tangente en chaque point M" est perpendiculaire sur la droite qui joint le point *' avec le pied 9 de la perpendiculaire M" 9 abaissée sur la ligne 00". Donc » en effectuant la construction analogue à celle-ci pour le point B", . ce qui est possible et très-simple p on aura la tangente en ce point de la projection

648. (PL 37, fig. 40 Développement des douelles* D'après ce que nous avons dit au n° 629, on tracera une droite ab sur laquelle on prendra les longueurs kn y mit,... égales aux arcs rectifiés EN, NM,... ; puis , sur les perpendiculaires élevées par ces pointe de division , on portera les distances

en ajoutant des opérations semblables, au moins pour les milieux des arcs BN, NM,...; et la courbe d ni ni b 1 sera la transformée de l'arc de tête projeté sur A' M' N' B'. Semblablement , on obtiendra la transformée a! ! m" n" b" de Tare de tête sur la sphère , en prenant les distances

Quant aux joints qui sont des faces planes , on aura leurs rabattements en prenant les largeurs np = NP, mr = MR , ... et en traçant les perpendiculaires

pp'^P 4 >, pp'^P,/* Tt-' = R,R', rr^R,**,...

avec le soin d'opérer semblablement pour les milieux, au moins, des côtés NP, MR ; car les lignes n'p\ n!' p% m! r 7 ,.»* sont ici des courbes dont il faut se procurer plus de deux points»

649. (Fig. 5). Application du treit sur la pierre* Après tous les détails que nous avons donnés aux n 00 64& et 634, il nous suffira ici de dire qu'on doit commencer par exécuter un prisme droit (n° 633) qui ait une base M, ti t p % q;r % identique avec le panneau MNPQR, et dont la loi^gueur soit suffisante pour renfermer la projection borkontale M'N' F P" S" du voussoir, sans prendre la peine de tailler la seconde base de ce prisme qui se trouverait détruite par les opérations ultérieures» Ensuite, sur la face qui passe par le côté M, r t 9 on appliquera le panneau zn'm' ' r" r' de la

/?• 4* pour tracer le contour M, M f R 8 R, du premier joint; .sur La face supérieure on tracera le contour R t Q fl Q, S a R, identique avec R' Q' P" S" R", et sur la face latérale le contour Q t P t P a Q, identique avec le panneau c( p 1 p" q f/ de la/fy» 2 ; alors, par les deux droites connue P 9 Q, et Q, S, , l'ouvrier pourra faire passer un plan sur lequel il tracera l'arc do cercle S, P t au moyen du panneau pqs de \&jig» 3 ', puis,, aqr