CHAPITRE m. — DBS BBRCEAUX ET DÉS PORTES

la projection horizontale de la première arête de douelle. La suivante E'G'L'M' s'obtiendra semblablement , ei ainsi des autres.

654. Les plans sécants X'Y',U'V, serviront aussi à diviser une même assise en plusieurs voussoirs partiels, lorsque l'épaisseur du mur sera trop grande pour qu'on puisse former d'une seule pierre toute la longueur de celte assise. Mais on devra faire alterner ces joints verticaux ; c'est-à-dire qu'il faudra employer le plan sécant U' V pour diviser seulement la i*% la 3% la 5* assise, et se servir du plan X'Y' pour la 2% la 4% -m a,ns * <î ue ce ' a est indiqué dans notre épure par le changement de ponctuation.

655. Pour tailler le voussoir MNPQR, il faut connaître en vraie grandeur les deux faces de joint NP et MR. Rabattons'donc le plan POO ; autour de sa trace horizontale 00', et alors les points F, H, K, N, se transporteront évidemment en F, H", K", N", de sorte que le panneau de joint sera P"F"H"K"N"P / . On trouvera de même que le panneau du joint supérieur MR est R"E"G"M"R'.

Cela fait, après avoir choisi un bloc capable de contenir le prisme droit qui aurait pour base MNPQR et pour longueur F'P', on dressera une face plane sur laquelle on tracera le contour MNPQR (n° 614) ; puis , par le côté NP on fera passer un plan qui soit d'équerre sur cette tête du voussoir, et on y tracera le contour du joint inférieur au moyen du panneau P"F"H"K"N"P'; de même par le côté MR on conduira un plan qui soit d'équerre sur la tête du voussoir, et l'on y appliquera le panneau P // E // G"M // P / du joint supérieur. Alors on connaîtra sur la pierre deux côtés FP, ER, appartenant à la seconde tête du voussoir, ce qui permettra de tailler cette face plane , d'autant plus facilement qu'elle doit être aussi d'équerre sur les deux joints déjà exécutés; et l'on y tracera le coqtour REFPQ. Quant à la douelle dont le contour MNFE est connu par ce qui précède , on exécutera cette face cylindrique au moyen de la règle que l'on appuiera sur des points de repère correspondant à une même génératrice; or, sur l'épure, ces points sont fournis par des parallèles à AB , et il sera bien facile de transporter ces points-là sur la pierre. On doit remarquer que nous n'avons pas eu besoin de tailler les faces planes RQ et PQ, lesquelles peuvent rester brutes ou ébauchées , du moins quand le mur est en maçonnerie.

656 (PL 38, fiy. 2.) Autre solution, dite Cor ne- de-vache. En conservant toutes les données du n° 651, adoptons pour l'intrados une surface gauche engendrée comme il suit. Par le centre 0' du parallélogramme ABD'C que forment les pieds-droits, menons une droite O'O perpendiculaire aux plans de tête; puis, assujettissons une droite mobile à s'appuyer constamment sur cet axe 00' et sur les deux cercles AZB, (CZD, CD 7 ). Il sera bien facile de construire les diverses positions de cette génératrice; car, en menant par 00 ; un plan quelconque F00\ il coupera les deux cercles directeurs aux points (F, F'), (N, N 7 ); et en joignant ces points par une droite (FN, F'N'), celle-ci remplira évidemment toutes les conditions assignées pour

la surface. Semblablement, le plan ROO* fournira la génératrice (EM, E'M'); et r édit. 31

2ft2 LIVRK IV. — C0UPB DES PTRRRES.

quand il s'agira du plan vertical OO 7 qui passe évidemment par le point Zotd se coupent les projections verticales des deux cercles, la droite mobile s'appayant aïors sur deux points de ces cercles qui se trouveront à la même hauteur, sera ette 3 même horizontale et parallèle à 00' qu'elle n'ira plus rencontrer qu'à l'infini; Ait delà de cette position, la génératrice (me, mV) s'incline en sens opposé, et elle va couper Taxe OO' derrière le plan vertical. D'ailleurs la surface ainsi produite est gauche; car il est évident que les deux tangentes aux points N et F des cercles directeurs ne sont pas dans un même plan, ce qui entraîne (G. /?., n° Sifr) la com6quence que deux positions infiniment voisines de la génératrice ne sont pas ion plus dans un plan unique.

ft57. Par les raisons citées au n° 652, nous conduirons tous Tes plans de joint par Taxe 00', et par des points de division marqués en nombre impair sur la crr*conférence F'PR décrite du centre avec un rayon suffisamment grand. Il en résultera que les arêtes de douelle , ou tes intersections de ces joints avee l'intrados, seront précisément les droites (FN,F'N'), (EM,E'M'),.... ce qui sera plus commode à exécuter sur la pierre que les arcs d'ellipses très-allongées de la solution précédente , et chacun des voussoîrs sera encore projeté verticalement sur un polygone tel que MNPQR.

658. Les panneaux de joint sont très-faciles à obtenir, puisqu'on rabattant te plan POO' autour de sa trace horizontale "00 / , le point (F, F) se transporte en F", Fe point (N, N') en N 7 ', et le trapèze p"F"N"F représente ta véritable forme du join* NP; de même le joint MR se rabattra suivant le trapèze FE"M"F, et cela suffi* pour tailler le voussoir, sans recourir aux panneaux de douelle qui ne sont pas ici développables.

En effet, après avoir choisi un bloc capable de contenir le prisme droit qui aurait pour base MNPQR et pour longueur F' F, on dressera une face ptene sur latyrcMe on tracera le contour MNPQR (n tt 615) ; puis*, par le côté NF on» fera» passer un plan qui soft d'équerre sur cette tête du voussoir, et Ton y tracera le contour du jornt inférieur au moyen du panneau P"F"N"F; de même-, par te côié MR on conduira un plan qui soit d'équerre sur la tête du voussoir, et Ton y appliquera te panneau F^WF du joint supérieur. Alors on connaîtra sur la pierre deux côtés FP', ER, appartenant à la seconde tête du voussoir, ce qui permettra de tailler cette face plane, d'autant plus facilement qu'elle doit être aussi cFéquerre sur les deux joints déjà exécutés ; et Ton y tracera le contour REFPQ, Quant k lia doaelte don< Ite contour MNFE est entièrement connu par ce qui précède, c'est une surface gauche, il est vrai ; mais puisqu'elle admet une droite pour génératrice , l'ouvrier l'exécutera presque aussi aisément qu'un plan, en se servant simplement d'une tègte qwfil aura soin d'appliquer, non pas sur deux points quelconques du contour MNF1 , mais sur deux points qui correspondent bien à une même position âe la génératrice de la surface. Or, sur l'épure , ces points de repère s'obciennen* évidemment en

CHÀP1TBJ5 UU — &B6 BEACEÀUX ET DëB PORTES. %k&

tirant de* droites qui convergent vere le point O : donc il n'y a plus qu'à transporter sur la pierre les points « et S, «, et 6,, «, etfi,,.*., ce qui n'offre aucune difficulté. Nous n'avons point parlé des faces planes ftQ -et PQ, parce qu'en effet on peut se dépenser de tailler ces faces., et les laisser brutes ou ébauchées, du moins quand le mur ert en maçonnerie; ou leur donner toute autre forme qui conviendra mieux pour tes relier avec tes constructions voisines.

€S9. Si l'épaisseur du mur est telle qu'il faille partager la longueur d'unemêmeassise en plusieurs tous90ît& partiels, on mènera divers plans parallèles aux faces de tête, tels que X'Y\ U' V'; le premier rencontre les projections horizontales des générar traces de la surface gauche aux points H',<j', $',.„., lesquels^tant ramenés sur les projections verticales de ces mêmes droites, fourniront autant de points de la section XyZGHY produite dans l'intrados par le plan sécant X' Y'; de même, la section laite par le plan U' V' sera la courbe (JZKV. Mais, pour bien relier entre eux tous ces voussoirs partiels, on devra foire alterner les Joints verticaux produits par les plans sécants U'V, X' Y'; c'est-à-dire qu'il faudra employer le premier de ces plans seulement pour la i*% la 3*, la 5%..., assise , «et le second pour la 2% la 4Y*m ailfâi <P» °^ ft est indiqué dans notre épure par le changement de ponctuation»

660. La recherche des tangentes aux sections telles que XZH Y, «est intéressante à effectuer, et pour cela il faut combiner le plan de cette, courbe avec le plan ta»* gent de la surface gauche ; mais oommenous avons donné tous les détails relatifs à ce pian tangent au n° 6684e la G é o métrie descriptive, le lecteur les appliquera très* facilemeat à l'épure actuelle, et il reconnaîtra que la droite (GH, G' H') de la/;. 12a (CD.) est elle même la tangente au point (G, G') de la section qui serait faite par le plan vertical GHL

(PL 38 , fig. 2.) On doit observer que les projections verticales UZV, XZY,... de toutes les sections parallèles aux plans de tête, passeront constamment par le point Z où se coupent déjà les deux cintres apparents de la voûte, puisque nous avons dit (n° 656) qu'il y avait une génératrice de la surface gauche qui se trouvait parallèle à Off et dès lors projetée verticalement au point unique Z ; et c'est la forme que présente l'ensemble de toutes ces sections, qui a fart donner «à ■cette voàte le nom vulgaire de eorne-de-vàche.

061. Cette dénomination s'applique aussi au cas 0* la surface guucfhe a pour directrices deux cercles inégaux , ou même deux combes quelconques tracées dm* des ptans parallèles, avec la «condition que les points culminante soient situés tut une droite perpendiculaire au plan de tète. Ainsi, daustayfy. 3 (Pf. 38), ou il s'agit d'un berceau dont les pieds-droits, après avoir été paraHèles entreeux, v^nt ensuite en divergeant dam les directions A'C, fi'D', on a formé cette seconde partie de ia voûte an moyen d'une corae-de-vactie dont la génératrice est une droite assujettie : i° à glisser constamment sur le cintre (AZB, A'Z'fi') du berceau; a° à glknor sur Taie de cercle (GZDjC'Z'D'); 3* à demeurer toujours normale à la

première directrice (AZB, À'Z'B')* Cette dernière condition revient ici à dire que la génératrice doit s'appuyer constamment sur Taxe 00 ; Z' du berceau, parce que la courbe AZB est un cercle; mais l'énoncé précédent est plus général, attendu qu'il s'appliquerait au cas où cette directrice serait elliptique ou en anse de panier (n° 608). Du reste, la construction des génératrices de cette surface gauche s'effectuera, comme au n°656, par des plans menés suivant la droite 0<yZ', lesquels plans serviront aussi à former les joints , tant de cette corne-de-vache que du berceau qui précède; et comme tout ce que nous avons dit aux n" 658 et 659 s'applique littéralement au cas actuel, l'épure 3 n'a pas besoin d'autres explications. Seulement , nous ferons observer au lecteur que la projection horizontale est censée vue en dessous, hypothèse que nous avons adoptée ici afin de manifester plus clairement

la direction brisée des arêtes de douelle M"M'E', N"N'F'

On emploie souvent "une telle corne-de-vache pour racheter la différence de saillie qui se trouve entre des constructions préexistantes ; et la disposition de la fig. 3 conviendrait parfaitement à l'entrée d'un tunnel, ou aux arches d'un pont, afin d'éviter que les eaux, quand elles sont hautes, ne vinssent rencontrer un obstacle perpendiculaire à leur direction , ce qui causerait des remous violents par suite desquels il pourrait se produire des affôuillements sous les piles. Ainsi , au pont de Neuilly, construit (et terminé en 1774) par le célèbre Perronet, les arches, qui ont 3g mètres d'ouverture et sont en anse de panier, ont été raccordées avec les avant-becs des piles par une corne-de-vache analogue à celle de la fig. 3 ; seulement , la courbe AZB est alors l'anse de panier qui forme la tête du berceau de l'arche, la courbe CZD est le prolongement de l'arc du sommet de ce cintre , et la génératrice rectiligne doit rester constamment normale à la courbe AZB.

Arrière-voussure de Marseille.

662. (PL 39.) Dans un mur terminé par les deux plans verticaux et parallèles A'B'etE'F', on veut pratiquer une porte dont la première partie sera voûtée en berceau , et aura pour section droite le demi-cercle AMB tracé dans le plan de tête A' B'. Cette portion de la voûte se trouve projetée horizontalement sur le rectangle A' A" B" B', et les faces verticales A' A", B' B", forment ce qu'on appelle le tableau. En deçà , on fait éprouver aux pieds-droits , dans toute leur hauteur, une retraite qui produit un renfoncement rectangulaire À /; C" C ; nommé la feuillure, et destiné à recevoir les vantaux qui fermeront la baie de la porte : cette feuillure est recouverte par un petit cylindre ayant pour section droite le demi-cercle CYD , et projeté sur le rectangle C C" D" D'. Ensuite , les pieds-droits vont en divergeant, et sont terminés par les deux plans verticaux CE', D'F\ que l'on nomme faces tfébrasèment ; il est convenable de leur donner une largeur D' F' au moins égale à D'Y' qui est celle du vantail. Mais comme ce dernier aura ici la forme d'un rectangle sur-

GHAPITBS 111. — DBS BERCEAUX ET DB8 PORTES. 245

monté d'un quart de cercle à très-peu près égal à DY, on sent bien que pour qu'il puisse tourner librement , il faudra exhausser l'intrados qui recouvrira l'intervalle compris entre les faces d'ébrasement ; et c'est à cette dernière partie de la voûte que Ton donne spécialement le nom d 1 Arrière-voussure (*).

663. Pour en former la doueTle , je commence par choisir la montée YZ de la voussure égale environ au tiers ou à la moitié de la profondeur Y' Z 7 ; et sur le plan de tête E 7 E 7 , je décris un arc de cercle EZF avec un rayon (Za>, Z 7 ) arbitraire, mais assez grand pour que les points E et F où cet arc ira rencontrer les arêtes verticales de l'ébrasement , soient plus élevés que le sommet Y de la feuillure ; puis, j'imagine une surface gauche engendrée par une droite mobile qui s'appuierait constamment : i° sur l'axe horizontal (0, 0' Y 7 Z 7 ) de la porte ; a° sur le cercle de feuillure ( CYD, C D 7 ) ; 3° sur l'arc de tête (EZF, E' Z 7 F'). Il sera facile de construire les génératrices de cette surface, en menant des plans quelconques par l'axe de la porte; car celui qui passera par le point (F, F 7 ), par exemple, aura pour trace verticale le rayon OF, et comme il coupera le cercle de feuillure en (G, G 7 ), la droite (FGO, F / G / / ) remplira bien les conditions énoncées ci-dessus; de même, le plan Ontr fournira la génératrice (mr, m'r 7 ), et ainsi des autres. Toutefois, puisque la directrice EZF est terminée aux points E et F, la portion dp surface engendrée par ce mode se trouvera limitée par les génératrices (FG, F' G 7 ) et (EK 7 E'R 7 ), de sorte qu'elle ne recouvrira pas tout l'espace qui est projeté sur le trapèze E 7 G 7 D 7 F 7 . Il est vrai que l'on pourrait prolonger fictivement l'arc de tête EZF ; mais la surface gauche ainsi continuée , irait couper la face d'ébrasement D 7 F 7 suivant une courbe qui , en général , ne permettrait pas au vantail de s'y appliquer librement. C'est pourquoi on ajoute à la directrice' EZF une nouvelle branche FD tracée sur la face d'ébrasement , et choisie de manière à remplir la condition précédente , ainsi que nous allons l'expliquer ; puis , en faisant glisser la génératrice (FGO, F 7 G 7 O 7 ) sur cet arc d'ébrasement (FD, F 7 D 7 ), et sur les deux premières directrices que l'on conserve toujours , on formera une seconde surface gauche qui complétera la douelle de l'arrière-voussure.

664. Tracé de Cote d'ébrasement . Rabattons donc la face d'ébrasement D 7 F 7 sur le plan vertical : le point (F, F 7 ) se transportera en F 77 , et le contour du vantail sera représenté par le quart de cercle DIY 7/ égal à DY. Alors, il faudra que l'arc cTébrasement que nous cherchons en vraie grandeur, passe par les points D et F 77 , et qu'il embrasse le quart de cercle DIY 77 en le touchant au point D : conditions qui pourraient être aisément remplies par un arc de cercle tangent à la verticale DH et passant par le point F".

(*) Pour justifier le mode de ponctuation employé dans cette épure, nous prévenons le lecteur que la projection horizontale est censée vue par dessous; c'est une hypothèse que Ton adopte quelquefois, afin de rendre plus sensibles certains détails qui sont importants à bien étudier.

Mais, en outre, il -est è désirer que cette «eoonde surface gauche ae rmosrée -complètement avec Ja première , tout le long de la génératrice t(FGO,, F 'fi' Q') qui leur sera commune , afin d'éviter que l'intrados ne présente en cet «eudroit «ne brisure choquante à la vue. Pour cela,, il faut (G. &, m° 563) «çoe oes sunface» m touchent en Crois points de la droite (FGO, F 7 G' t)') ; or cette condition est auuiifeatefloeut rempKe au point (0, O 7 ) , ainsi qu'<en (G, G 7 ) 7 puisque ici les &iguea«dirottriées sont les mêmes pour les deux sur faces; donc il veste à faire en aorte que le oantact ait lieu an point (F, F 7 ). Pour y parvenir, j'observe que de plan taugeut de te première surface gauche passe par la génératrice (<FGG, F 7 *} 7 *) 7 ) et^par la tangente FT ; ainsi il a pour trace , sur le plan vertical C D 7 de ta feuillure , da (droite GH menée par le point G parallèlement à FT. Le plan tangent de la seconde «uv iaee gauche passerait aussi par la génératrioe (PGO, F 7 G 7 0') 3t par la tangente à te oourbe «cherchée FD ; donc , pour faire coïncider ces deux plana tangente , il faut et il suffit que cette dernière tangente se trouve dans le premier plan tangent , et conaéquenuaent elle doit aller percer le plan vertical -de feuillure sur la droite fifl; mais celte traoe doit être aussi sur la verticale (B 7 , DHi) , puisque la couolhe ahenchôe sera située dans le plan vertical D 7 F 7 ; donc enfin , la tangente dont il s'agit passera parjles .points ( F, F' j) -et ( H , D 7 ) , et eHe sera rabattue eurvact ¥" H.

665. Gela posé,, le problème se réduit à tracer une courbe qui touche F" H en F", .et la verticale Dfl en D , eau» couper le cercle DIY /7 ; x*r k solution la plus simple consiste à employer «ne cowrbe à deux centres , composée d'une certaine portion de Tare DIT' 7 et d'un autre arc de cende H?" qui raccordera le premier. On trouvera «aisément qu'il suffit de mener la droite iF" <p perpendiculaire à F 77 H et égale à O 77 D ; puis, d'élever sur le milieu deO" <y m perpendiculaire «qui ira couper F " ç »u centre du nouvel are IF ", et rtm coanaitra aussi le point de lueoandenauot I ; de sorte que Tare d'ébrasement que l'uu cherchait sera DiF" (*). Toutefois., pour que la solution soit -admissible .sous le «apport de la stéréotomie , il faut supposer que la droite F" II ue coupait pas Je cerde DIY"; «t s'il m était autrement, on devrait d'abord modifier les «dansées, en élevant davantage le soumet Z de J'arc de tête,, ou bien en augmentant le rayon Z<» de cet arc., ce qui ferait remonta* les points H cet F ".

666. Après avoir tracé ainsi le rabattement DIF 7/ de l'are d'ébnmaueu^ M test bien facile d'en déduire la projection DF du mène arc ramené dans te fiau vertical

(*) On pourrait aussi se contenter de décrire un arc de cercle qui touchai la verticale DH en D, et la droite HF" en un point q situé nécessairement à la distance H? = HD; ators cet arc D?, joint à la partie rectiligne qrF", formerait un arc débrasement qui satisferait à toutes les conditions indiquées* dans le texte. Cette disposition offrirait le léger inconvénient de présenter au point? un changement ée coortwre ua peu plus sensible ; mais on y trouverait l'avantage de ne pas avoir à tracer un arc de terde IF" dont le rayon est ord>oaire*aeut très^coasàdéittUe, et -de donner** vanta* ffas dfarpaoe pour tourner librement sous la voûte.