CHAPITRE IU. — DES BERCEAUX ET DES PORTES

676. Pour diviser cette voûte en voussoirs , partageons l'arc de tête EZF en un nombre impair de parties égales, puis menons des plans par ces points de division et par Taxe horizontal (0, O'Y'). Ces plans détermineront les faces de joint, projetées sur PQ, LS,... et terminées aux assises horizontales du mur; mais au lieu de les prolonger jusqu'au point où elles formeraient des angles très-aigus, on les remplacera, à partir de Tare de tête, par des cylindres horizontaux PN,LM,... qui viennent couper la feuillure à angle droit et soient tangents aux joints plans PQ, LS,,... Pour cela, on tracera la tangente PT avec laquelle on décrira Tare de cercle PN que Ton regardera comme la base d'un cylindre perpendiculaire au plan vertical, et on y ajoutera la petite face plane Nw dirigée semblablement ; de sorte que le joint total sera projeté verticalement sur le contour QPN», et Ton opérera de même pour les autres joints. Il est vrai que par là les largeurs des douelles mit sur la plate-bande ne seront pas toutes égales entre elles ; mais il suffit qu'elles soient symétriques, à droite et à gauche de 0. Toutefois,, si l'on tenait à rendre ces douelles de même largeur, il faudrait commencer par fixer les points M, N,... sur

soit un rectangle. Désignons par a et 6 les deux demi-axes horizontaux 0' F' et 0' Y' des deux ellipses, et par c le demi-axe vertical (0', OZ) qui leur est commun ; les équations de ces courbes seront

Mais, quand la première se sera transportée dans un plan parallèle quelconque, ses équations deviendront

où y désigne l'ordonnée z qui correspond à l'abscisse y = 6 dans l'ellipse (a) , et conséquemment on aura

donc, en éliminant 6 et y entre les trois dernières équations, il viendra pour l'équation de la surface engendrée par l'ellipse mobile ,

Alors, si Ton coupe cette surface par des plans parallèles aux côtés du rectangle primitif, on obtiendra des ellipses ou des hyperboles, selon que le plan sécant se trouvera en dedans ou en dehors de ce rectangle; et quand il coïncidera avec un des côtés, la section se réduira à une droite. De sorte que la surface (3) présente une nappe fermée, projetée sur un rectangle, avec quatre nappes indéfinies qui s'étendent dans les angles opposés par le sommet à ceux de cette figure ; et en outre , il existe sur la surface quatre droites indéfinies qui sont les côtés du rectangle avec leurs prolongements. Lorsque l'on coupe cette même surface (3) par un plan vertical dirigé suivant une des diagonales, on obtient deux paraboles dont chacune pourrait servir, sans interruption , de directrice continue à l'ellipse mobile représentée par les équations (1) ou (a). Les sections horizontales sont aussi intéressantes à discuter ; mais le lecteur pourra se livrer de lui-môme à cet exercice.

£D. d'après cette condition , et ensuite remplacer Tjiro.de cercle NP par une courbe £ deux centres qui fût tangente en même temps à la verticale Nn et à la droite PQ.

677. Cherchons maintenant les arêtes de douelles qui. seront les intersections de l'intrados de l'arrière-voussure avec les cylindres projetés sur LM, NP,..- Or, si Ton construit, comme nous l'avons dit au n° 675, les projections verticales *Sy f #1 S» 7» v de ' a génératrice de cet intrados dans ses positions successives, elles seront rencontrées par le cylindre LM aux points A, X 2 ,X 3 ,... qu'il suffira de projeter en )/, X' 2 , 3l' 3 ,.«. pour obtenir la projection horizontale L'X'M' de cette arête, de douelle : quant à sa projection verticale, c'est évidemment LXM; et Pon opérera semblablement pour toutes lés autres arêtes de douelle (PîtN, PVN'),.... Nous les avons tracées ici en plein , parce que nous admettons que la projection horizontale est vue en dessous.

678. Développement des panneaux de joint. Puisque la courbe LM est la section droite du cylindre qui forme ce joint, rectifions cette courbe en prenant sur \&fig. 5, les distances

m"/'"=mx 3 , rr=\\, i"i'=\i, n==xLf

puis , en élevant les ordonnées

/'"/ 3 =YV 3 , /"/ 3 = Y'a>'„ /'/ J= YV, /L" = Y'0',

nous obtiendrons divers points de la courbe M "/,,/, /,L" qui est la transformée de l'arête de douelle (L'M',LM); et en prenant L // S // = LS, on achèvera aisément le contour du panneau de joint SLMm. Pour le joint QPN«, il faudra rectifier les arcs Ntt 3 , 7t 3 7: 2 , 7r 3 7r, 7rP, en conservant les mêmes ordonnées que ci-dessus, et l'on obtiendra le panneau M"p 2 P"Q" de la/gr. 5.

679. Application du trait sur la pierre. On taillera d'abord un Prisme droit (n° 633) dont la base soit le polygone SLMmwNPQR, et dont la longueur égale au moins la distance des plans verticaux À'B', E'F'; puis, sur les faces cylindriques correspondant aux côtés LM, PN, on appliquera les panneaux de la jffy. 5, exécutés sur un carton flexible auquel on fera prendre la courbure de ces faces; et alors on pourra tracer le contour de la douelle projetée sur LB1NP, en appliquant d'ailleurs le panneau de tête LPQRS sur la seconde base du prisme. Quant à la taille de cette douelle courbe qui n'est ni gauche, ni développable , il faudra donner à l'ouvrier plusieurs cerces découpées suivant la courbure des arcs d'ellipse Xtt, X 2 ir 2 , X 3 tt 3 ; et celui-ci devra les essayer sur la pierre , en les faisant passer respectivement par les points de repère /, et p t , / 2 et p,,... qui lui auront été fournis par les panneaux do tayfy. 5. Il est vrai que ce procédé exigera plus de temps, dès essais plus nombreux, et offrira moins de précision que si Ton avait pu employer une cerce constante; mais ces inconvénients sont inévitables, et ils tiennent à ce que la surface en questioft n'admet pour génératrice qu'une ligne variable à la fois déforme et déposition : aussi