CHAPITRE IV. — VOUTES SPHÉ BIQUES ET EN SPHÉROÏDE

bore de la méridienne L'M', avec le soin d'appuyer cette cerce sur des points qui , correspondent deux à deux à un même plan méridien ; or, pour obtenir ces points de repère, il suffira de diviser chacun des deux arcs M 3 N,, L,P 2 , en un même nombre de parties égales. Quant au joint supérieur M 2 N 3 n 3 m 2 qui est une portion de surface conique, on emploiera une simple règle que Ton fera glisser sur les deux arcs M,N a et ro 2 n 2 , après les avoir encore divisés en un même nombre de parties égales; et Ton opérera semblablement pour le joint inférieur l> t V 3 pJ 2 qui est aussi conique. Enfin, l'extrados l^m^^p^ est une surface sphérique qui s'exécuterait a* moyen d'une cerce concave , découpée suivant la courbure du méridien /'m 7 ; mais ordinairement on ne prend pas la peine de tailler cette face, ou bien on la dégrossit à vue simplement.

La méthode que nous venons d'exposer est celle qui offre le plus d'exactitude dans les résultats, mais elle cause un grand déchet dans les matériaux, et surtout nue perte considérable de main-d'œuvre, attendu qu'il ne reste rien de toutes les faces du prisme vertical MNp/ qu'on a dû tailler d'abord; aussi les ouvriers ne l'emploient jamais, excepté pour les voussoirs de la première ou des deux premières assises, dans lesquels la forme A'L' l'a" a! du panneau de tête diminue beaucoup les inconvénients signalés ci-dessus. Par ce dernier motif, nous avons dû exposer cette méthode qui , d'ailleurs , deviendra indispensable dans le cas d'une voûte non sphérique , mais de révolution {voyez n M 695 et 70i).

684. Seconde méthode par dé robe ment. On peut diminuer le déchet et utiliser des pierres d'un moindre volume, en projetant le voussoir {fg. i)sur le plan vertical OE qui le divise en deux parties symétriques : les résultats de cette projection, qui est bien facile à construire, sont indiqués sur l&fig. 4« Alors, après avoir taillé un prisme droit dont la base soit le panneau de projection verticale Q'L'VW m 1 q'g* {fig. 4)» et dont la hauteur égale /p, on portera sur les arêtes de ce prisme les longueurs UG, VL et VP, Xq f Y m et Yn, ZM et ZN ; ce qui, avec les points (/, /'), (p, faciles à marquer sur les deux bases , fournira quatre points appartenant à chacun des plans verticaux /M,pN, et permettra de tailler ces deux faces planes. Sur ces dernières, on marquera le contour des joints montants ou faces de tête, au moyen du panneau méridien G'Q'q'g'; puis, sur les faces horizontales q'm' et G'L', on tracera les arcs circulaires mqn et LGP.

Cela fait, on exécutera le joint conique supérieur dont on connaît actuellement les deux génératrices extrêmes (M' m 7 , Mm), (M y m ; , Nw) et une directrice {mqn, t/m'), en se servant d'une simple règle qui devra glisser sur cet arc de cercle et être maintenue convergente avec les deux bords de la zone conique. Il est vrai que puisqu'on n'aura ici qu'une seule directrice, le mouvement de la règle restera un peu incertain; mais, comme la concavité de cette face est toujours peu sensible, il suffira de creuser lentement la pierre dans le sens de la règle, jusqu'à ce qu'on puisse y appliquer exactement le panneau ftf'N'Vm" tracé sur un carton flexible, et qui

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représente le développement de ce joint conique (oti sait qu'il a fallu prendre les arcs M"N" etm'V égaux en longueur absolue aux arcs MQN etmqn). Quand ce panneau flexible coïncidera bien avec la face concave que l'on aura taillée , il ne restera plus qu'à suivre le bord M"N" de ce panneau, pour tracer sur la pierre Tare de cercle (MQN, M'Q') qui termine le joint conique supérieur (*).

On opérera semblablement pour le joint inférieur, en 'se serrant de Tare de cercle (LGP, L'G') déjà marqué sur la pierre, et du panneau L"P" p" l" qui représente le développement de ce joint conique; ce panneau flexible servira aussi à tracer l'arc circulaire (Igp, l'g r ) de l'extrados. Enfin, la douelle sptiérique s'exécutera en faisant glisser une cerce découpée suivant la méridienne G'Q', sur les deux arcs de parallèles (MQN, M'Q'), (LGP, L'G'), avec le soin d'appuyer cette cerce sur les points de repère qui divisent ces deux arcs en un même nombre de parties égales.

685. (PL [\i , fig. r et 7.) Méthode par récttelle. Dans cette méthode, fort ingénieuse et habituellement employée, on commence par creuser dans la pierre que Ton a choisie une calotte sphérique égale à celle que détaoherait de l'intrados le plan indéfini qui passe par le* quatre sommets (L, L'), (M, M'), (N,N') 5 (P, P') de la douelle du voussoir; en effet , les cordes gui réuniraient ces sommets sont toutes dans un même plan , puisque deux d'entre elles (LP, L'P') et (MN, M'N') sont évidemment parallèles ; d'ailleurs ce plan coupe la sphère suivant un petit cercle <jtii eét circonscrit au quadrilatère rectiligne projeté sur LMNP, et qui sert de ba& à la calotte dont nous parlons/Ainsi, après avoir dégauchi grossièrement l'une des faces uvxy de la pierre ( fig. 7), on y tracera le trapèze L,M 2 N,P 2 identique avec celui du voussoir, en employant des ouvertures de compas égales aux longueurs véritables des cAtés et des diagonales; or les deux côtés horizontaux ont pour vraies grandeurs les droites LP et MN, chacun des côtés montants est égal à la corde L'M', et chacune des diagonales a pour vraie longueur le rabattement L'N T// ; -enfin, on tracera un cercle UVXY qui soit circonscrit à ce quadrilatère, ce qui est \>\m facile (**). Alors, on creusera la pierre dans tout l'intérieur de la circonférence UVXY, en faisant pirouetter sur ce contour une cerce (fig. 5) levée sur la méridienne A'L' M\ avec le soin de maintenir cette cerce dans une situation perpen*-

(*) Ces moyens suffiront toujours pour un ouvrier intelligent ; mais si Ton voulait donner au procédé actuel toute la précision désirable, il faudrait chercher ta courbe d'intersection «âa joint comitw avec le plan projeté sur la corde L'I'M'; cette courbe, bien facile à obtenir en projections, puis on vraie grandeur, étant rapportée sur la face LT M' de la pierre, formerait une seconde directrice qui , jointe à l'arc de cercle (mqn , m'q') déjà tracé , déterminerait complètement le mouvement de la règle qui engendre la zone conique. Ensuite on appliquerait, comme ci-dessus, le panneau développé M"N"n"m" pour tracer Tare dcoercle (MN, M'Q') qui termine le jai*.

(**) Il serait plus commode et plus exact de commencer par décrire ce cercle UVXY dont on peut obtenir à priori le diamètre, et d'y inscrire ensuite le trapèze dont il ne serait plus nécessaire de connaître les diagonale?. Pour cela, il faut observer que le plan vertical OE mené par les milieux des

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cataire au plan UVXY, et de manière qu'elle passe à la foie par de* points de .repère marqués a«x extréjoàtés d'un méro# diamètre. Uue pierre ainsi préparée est appelée une écuelle*.

686. Maintenant, pour tracer dans cette écuelle le contour de la véritable douelle du> voussoir, on prendra une cerce découpée suivant la «courbure du parallèle MN , et, après avoir taillé le bord curviligne en biseau, pour obtenir plus de préd&iou, on l'appuiera sur les points M 2 etN,, en l'inclinant de manière que ce bord coïncide entièrement avec la surface de la calotte ; puis, dans celte situation, on tracera l'arc de cercle M 2 N 2 . Par des moyens semblables, on décrira les autres arc&I^P^i^M», N 2 P 2 , à l'aide de cerces levées sur le parallèle LP et sur la méridienne L'M'; et le contour de la douelle sera achevé.

Ensuite, pour' tailler les deux joints de lit (ou les coupes) et les deux joints montants qui sont tous normaux à la douelle le long du contour L,M,N s P, y il suffira d'employer un même biveau (fig. 6) dont la branche curviligne aura la courbure du méridien A'L' et dont la branche rectiligne sera un rayon prolongé; pourvu qu'en appuyant la branche courbe sur Técuelle, on ait soin de maintenir le plan du biveau dans une situation normale au contour delà douelle, parce qu'ainsi ce plan coïncidera avec un grand cercle de la sphère. Pour remplir plue aiséiaenA cette conflit ion, il n'y aura qu'à diviser les» deux arcs M 3 N 2 et L, P 3 chacun en 4 ou 6 parties égales, et les points de division correspondants seront des repères qui dirigeront te mouvement du biveau.

Si l'on voûtait prendre la peine de tailler l'extrados du voussoir» on appliquerait sur les joints montante qui sont plans, le panneau de tête L'M'w'/' {fig. i); et sur les. deux joints coniques on tracerait (fig. 3) des arcs m 3 n„. / 2 p ; , parallèles aux arcs d'intrados ; puis , on achèverait comme nous l'avons dit au n° 683.

Cette méthode est souvent désignée par le nom de l'architecte Delarue qui Va donnée dans son Traité de coup? de* pierre*, publié en 1728; la suivante est connue sous le nom du P. Derand, jésuite, qui l'a proposée dans son Architecture de» voûte*, imprimée en 1 643.

687. Méthode par pennemx de douelle. Disons tout d'abord que cette méthode n'e6t qu'approximative- , et qu'elle serait inadmissible pour des voûtes de petites dimensions ; mais quand le: rayon de l'intrados atteint & ou & mètres*, on peut remployer aveo confiance , et alors elle présente beaucoup plus de facilité et même de précision que l'image des cerees dont noua avoas parlé an n° 686. Dans l'hypothèse

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deux bases LP, MN, du trapèze en question, va couper le plan de cette figure suivant vue droite qui, prolongée jusqu'aux points où elle perce la sphère, devient précisément le diamètre Au cercte circonscrit à ce trapèze. Or, en rabattant ce plan OE sur le plan vertical 0A , il est facile de trouver les positions que prendront les milieux des côtés LP, MN ; donc , si l'on joint ces milieux rabattus par une droite que l'on prolongera jusqu'à ce qu'elle coupe la méridienne A'L' M' eu deux points, b corde: interceptée par cette méridienne sera précisément le diamètre du cercle circonscrit an trapèzt .

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d'un grand rayon , Tare de méridien X' p' (Jig. 2, PL 40 qui détermine la hauteur de la douelle de chaque voussoir, ne diffère pas sensiblement de sa corde ; et Top peut alors regarder cette douelle comme une portion du cône de révolution qui serait engendré par la droite S' p X' tournant autour du diamètre vertical 0' Z'. Or cette douelle conique est fléveloppable ; si donc , avec les rayons S' X', S' p', nous décrivons des arcs de cercle , et que nous prenions les parties X' *", p' v", égales aux arcs Xtt , fxv, le quadrilatère X' p! v" ri 1 représentera le panneau de cette douelle développée. Cela posé, après avoir taillé l'écuelle de lajfy. 7, comme il a été dit au n°685, on appliquera dans cette écuelle le panneau de douelle exécuté sur un carton flexible; puis, en appuyant sur ce panneau, il reprendra sensiblement la forme qui convient à la vraie douelle sphérique , et il permettra de tracer d'un seul coup le contour L, M, N, P 2 . Quand une fois ce contour est tracé , la taille des joints et des coupes s'effectue comme nous l'avons dit au numéro précédent.

. •' Voûte en cul-de-four*

688. (PL l\i , fig. 1.) On désigne sous ce nom une voûte dont l'intrados est un quart de sphère , qui termine et raccorde un berceau. Ordinairement on appareille cette voûte par assises horizontales, de sorte que les arêtes de douelles sont les demi-cercles (LR, LGR), (M'Q 7 , MHQ),... contenus dans les plans horizontaux menés par les points de division L', M',.-* du cintre principal du berceau ; les joints de lit ou les coupes sont des cônes de révolution décrits par le prolongement des rayons 0' L', 0' M',... qui tourneraient autour de la verticale (0, 0' Z' ) ; et ces joints se raccordent parfaitement avec ceux du berceau , qui sont les plans conduits par les mêmes rayons et par l'horizontale 01. Quant aux joints montants , on les forme avec les plans méridiens menés par la verticale , en prenant soin d'interrompre et de faire alterner ces joints d'une assise à l'autre. La forme des voussoirs est donc entièrement la même que dans la PL 4i, et conséquemment ils se tailleront par les mêmes procédés.

Souvent on ajoute un arc doubteau ou une saillie formée par un cylindre (a! z b\ abcd) d'un rayon plus petit que celui du berceau ; mais il faut toujours que cet arc saillant soit pris sur le berceau même., et non sur la sphère , parce que sur cette dernière surface il produirait un effet choquant pour l'œil. Le lecteur observera que, dans cette épure et dans les suivantes, la projection horizontale est censée vue par-dessous ; et nous n'y avons marqué que les lignes qui seraient visibles dans cette hypothèse.

689. (PL 42 , fig. 2.) Quelquefois on adopte pour l'hémicycle un appareil différent. Après avoir divisé le grand cercle horizontal AIB en un nombre impair de parties égales , on mène par ces points de division des plans verticaux et parallèles LR,MQ f NP, qui coupent la sphère suivant des circonférences que Ton choisit