CHAPITRE V

rfN*TllVnO*B DE TOUTES.

Voûte (t arête et Voûte en arc de cloître.

719. (PL 45.) Une voûte (Tarête est formée par la rencontre de deux berceaux qui ont le même plan de naissance et la même montée; et dès lors les deux cylindres d'intrados se couperont suivant deux courbes planes situées dans les plans verticaux conduits par les diagonales du parallélogramme que forment les parements intérieurs des pieds-droits : toutefois, pour que cette dernière circonstance se vérifie , il faut sous-entendre que les bases ou directrices des deux cylindres sont des courbes du second degré. En effet, si, après avoir choisi notre plan horizontal parallèle aux génératrices des deux cylindres , nous coupons chacune de ces surfaces par un plan vertical parallèle aux génératrices de Vautre , nous obtiendrons deux ellipses A' Z' B* et À" 7J 1 B* {fig. i , a et 3 ) qui auront leurs axes verticaux

CHAPtm Yi — tÉÈÊÉBUkTU>X9 I» VOUTES. &7*

7 II et 0" Z" égaux entre eux. Ensuite , •» pian hownoiilal quelconque M 7 m co*tpera les deux cylindres «rivant quatre génératrices dont les projections L' Ai, V m r V M f l" M, , se rencontreront en quatre peints M , m , M, , m, , situés sur les diagonales CE et DP ; car les points M et M", par exempte, ayant des ordonnées égalea II 7 L 7 = M" L", ont des abscisses A' L 7 et A' 7 L" qui sont proportionnelles aux axée iaégaox A 7 B 7 et A" B" ; d'où Ton conclut que

Cx:xM:: CD: DE,

ce qui démontre que les trois points C, M , E sont en ligne droite. On prouvera de même que le point m est en ligne droite avec F et D ; d'où il suit que tous les points communs aux deux cylindres sont projetés sur les diagonales CE et DF, ou Ken que l'intersection de ces surfaces se compose de deux branches situées dans tes pfens verticaux conduits par ces diagonales.

720. Il importe d'observer que , dans tout ce qui précède , rien ne suppose droit l'angle compris entre les génératrices des deux cylindres ; de sorte que tous fc» raisonnements employés ci-dessus et la conséquence finale s'appliqueraient identiquement à deux berceaux qui se rencontreraient obliquement (fig. 6), pourvu que, conformément à la règle énoncée ci-dessus, on adoptât momentanément pour bases des deux cylindres les sections faites par les plans verticaux CF et CD, parallèles aux génératrices ; caïf ces sections seront aussi des ellipses qui auront le même axe vertical , et dans lesquelles les abscisses CX et CL seront encore proportionnelles avec les axes horizontaux CD et CF.

7M. Au surplus, étant donnée pour cintre dtr premier berceau oue courbe quelconque A 7 71 B', qui pourra être une anse de panier (n # 008) ou une ogive , il est facile de trouver quel doit être le cintre du second berceau , pour que Tintersection soit une courbe située dans le plan vertical de la diagonale CE. Car, après avoir tracé diverses génératrices M ; M, If' N,.... terminées à cette diagonale, on les fera retourner dans la direction MM", NN 77 ,... , et on les prolongera , au-dessus de la ligne de terre A 77 B 77 , de quantités égales aux ordonnées des points de départ M 7 , N 7 ,..., ce qui fournira autant de points M 77 , N 77 ,... du cintre demandé. Mais on devra observer que si A 7 Z' B' est une anse de panier, A 7 ' Z 77 B 77 ne sera pas une Courbe du même genre précisément : ce sera une ligne composée de plusieurs arcs d'ellipse qui se raccorderont entre eux.

722. Revenons à la Voûte daréie proprement dite, laquelle a pour objet de recouvrir la partie commune à deux galeries qui se traversent , et dont les murs se trouvent interrompus de C en D et de F en E, comme aussi de C en F et de D en E (jig~ i, a,. 3), afin de laisser entièrement libre la communication entre ces galeries. Leurs largeurs étant inégales, ce qui nepdra la voûte bar longue au lieu d'être carrée, je décris un demi-cercle vertical sur le diamètre A 7 B 7 , et sur le diamètre A 7/ B 7/ une demi-ellipse dont Paxe vertical égple le rayon O'A'; alors ces

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deux courbes seront les sections droites des deux cylindres d'intrados, lesquels se couperont (n° 719) suivant deux ellipses projetées sur les diagonales CE et DF. Ensuite, après avoir divisé la circonférence À'Z'B' en un nombre impair de parties égales, et avoir marqué sur l'ellipse les points M", N ",.••* qui sont respectivement à la même hauteur que M', N',..., on tracera les génératrices des deux cylindres qui partent de ces points correspondants, et elles devront aller se couper deux à deux en des points M, m, N, n,. .., situés précisément sur les diagonales CE et DF. Mais, à cause de l'interruption des pieds-droits, il faudra évidemment supprimer toules les portions intérieures de ces génératrices, telles que M m, Nu, MM,, mm,,...; de sorte que les triangles COF et DOE ne seront recouverts que par le berceau en plein cintre, et les triangles COD et FOE par le berceau surbaissé. D'ailleurs on voit bien que les angles formés par la rencontre de ces génératrices tourneront leur sommet vers l'observateur placé au centre de la voûte , et qu'&insi l'intrados présentera à cet observateur deux arêtes saillantes formées par les ellipses diagonales.

723. (Fig. i, 4 9 5.) La Voûte en arc de cloître s'emploie pour recouvrir un espace entièrement fermé, tel que la salle rectangulaire CDEF (fig. 5), et elle est composée des deux mêmes berceaux que ci-dessus, avec le soin de conserver ici les portions de génératrices Mm, MM,,,.., que nous avions supprimées, et de supprimer celles que nous avions conservées d'abord. Il résulte de cette nouvelle combinaison que l'intrados offrira au spectateur deux arêtes rentrantes» produites par les ellipses d'intersection qui sont encore projetées sur les diagonales CE et DF. Quant à la manière de former les joints et de tailler les voussoirs, pour cette voûte et pour la précédente qui ont beaucoup d'analogie entre elles, nous remettrons à l'expliquer sur l'épure de la PI. 46 où nous rencontrerons des voussoirs de l'un et de l'autre genre ; ce qui nous permettra d'éviter des répétitions fastidieuses. Ici nous ajouterons seulement, pour justifier les divers modes de ponctuation de la Pi. 45, que les projections 3 et 5 sont censées vues par-dessous, et que \esfig. i , 2, 4, représentent des coupes faites dans les deux berceaux; c'est pourquoi nous y avons marqué des hachures.

Berceau coudé : Voûte en arête et en arc de cloître.

724. (PL 46.) Considérons deux galeries qui se rencontrentsans se prolonger au delà, mais qui forment un retour d'équerre suivant les directions A'CA* et B'EB". Pour les recouvrir par une voûte, nous emploierons d'abord un premier berceau ayant pour arc droit le demi-cercle A'Z'B', puis un second berceau qui aura pour arc droit l'ellipse A"Z"B" dont l'axe vertical 0"Z" égale CZ'; mais ici les deux cylindres d'intrados n'auront qu'une branche unique d'intersection qui sera l'ellipse projetée sur la diagonale CE (n* 719), attendu que, d'après la forme des pieds* droits, aucun de ces cylindres ne doit être prolongé au delà de la courbe d'entrée. Maintenant, après avoir divisé le demi-cercle A'Z'B' en un nombre impair de parties

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égales, nous formerons les joints de lit ou les coupes avec des plans OCM', CXyN',... , passant par Taxe du berceau et terminés au cylindre d'extrados : la section droite QfVz'p'qf... de ce dernier se tracera comme nous l'avons dit au n* 610. Quant au berceau surbaissé, après avoir marqué les points M", N ",..., qui sont à la même hauteur que M', N',.*m il faudra construire les normales M"Q", N"P",." <te l'ellipse ,. lesquelles peuvent se déduire aisément des tangentes au cercle. En effet, puisque l'intersection des deux cylindres est une courbe située dans le plan vertical CE, il en sera de même de sa tangente qui est l'intersection des deux plans tangents M'T'T et M"T"T: donc les traces horizontales de ces plans devront se couper en un point T qui soit sur la diagonale CE ; par conséquent, si, après avoir prolongé la droite T'T jusqu'à ce qu'elle coupe CE en T, on mène par ce dernier point la droite TT" parallèle à CA", elle fournira le point T" qu'il faudra joindre avec M" pour obtenir la taagen te cherchée M^T", de laquelle on déduira la normale M" Q". Ce procédé pourrait aussi se justifier par les relations connues entre deux ellipses qui ont un axe vertical commun ; car on sait qu'alors les sous-tangentes O'T' et 0"T", comptées sur les axes inégaux, doivent être proportionnelles à ces deux axes; tandis que si on les mesurait sur l'axe commun , elles seraient égales. Cette dernière relation sera plus commode à employer pour le point N"; ear si, après avoir tiré la tangente au cercle N'S', on prend ,/ S // =0 / S , 1 la droite S"N* sera la tangente de l'ellipse, et par suite on obtiendra la normale N^P".

725. Cela posé, les joints du berceau surbaissé devront être formés par des plans conduite suivant chaque normale M "Q", N"P", et suivant la génératrice correspondante M" VM, N"XN; et ces joints se trouveront exactement normaux à l'intrados tout le long de la génératrice, attendu que l'ellipse À"Z"B" est la section droite du cylindre. D'ailleurs , comme la stabilité de la voûte exige évidemment que l'on compose d'une seule pierre les parties des deux berceaux qui, dans chaque assise, sont contiguës à VaréUer CMNE , il sera convenable de terminer chacun des joints M"Q% NT",.- à la même hauteur que le joint correspondant du premier berceau, ainsi qu'on le voit indiqué dans notre épure; alors la série des pointe x", F, Q\ déterminés par ces diverses normales, et par d'autres assujetties à la même condition, formera une courbe qui sera la section droite du cylindre d'extrados pour le second berceau* Ensuite, comme les deux horizontales projetées en Qf et Q" vont se rencontrer nécessairement en un point dont la projection est Q, il s'ensuit que la droite MQ représente l'intersection des deux joints supérieurs de la première assise; pour la seconde, ce sera la droite NP, et ainsi des autres. D'ailleurs, si l'on réunissait par un trait continu tous les points Q, P, 0, p, q, on obtiendrait la projection de la courbe suivant laquelle se coupent les deux cylindres d'extrados ; mais cette ligne est inutile à considérer, parce qu'on ne prend jamais la peine de tailler l'extrados des voussoirs (*)•

(») On pourrai choisir l'extrados du second berceau • de telle sorte que son intersection avec celui